高等代数北大版7-5.ppt

* * 一、可对角化的概念 二、可对角化的条件 §7.5 对角矩阵 三、对角化的一般方法 定义1：设 是 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换　可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2：矩阵A是数域 上的一个 级方阵. 如果 存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 一、可对角化的概念 1. (定理7)设 为 维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化　 有 个线性无关的特征向量. 证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵 则有 二、可对角化的条件 就是 的n个线性无关的特征向量. 反之，若 有 个线性无关的特征向量 那么就取 为基，则在这组基下 的矩阵 是对角矩阵. 2. (定理8)设 为n维线性空间V的一个线性变换, 如果 分别是 的属于互不相同的特征值 的特征向量，则 线性无关. 证：对k作数学归纳法. 当 时，　 线性无关. 命题成立. 假设对于 来说，结论成立. 现设　　　　　为 的互不相同的特征值， 是属于 的特征向量， 即 以 乘①式的两端，得 ② 设 ① 又对①式两端施行线性变换 ，得 ③ ③式减②式得 由归纳假设， 线性无关，所以 但 互不相同，所以 将之代入①，得 故　 线性无关. 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 3. (推论1) 设　为n 维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化. 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 对角化. 特征值 的线性无关的特征向量， 则向量 　线性无关. 4. (定理9) 设　为线性空间V的一个线性变换， 是 的不同特征值，而 是属于 证明：首先， 的属于同一特征值 的特征向量 的非零线性组合仍是 的属于特征值 的一个特征 向量. 令 由④有， 设 ④ 若有某个 　则 是 的属于特征值 的 特征向量. 而 是互不相同的，由定理8， 必有所有的 即 而 线性无关，所以有 故 线性无关. 为　的特征子空间. 5. 设　为n维线性空间V的一个线性变换， 为 全部不同的特征值，则　可对角化 6. 设　为n维线性空间V的一个线性变换， 若 在某组基下的矩阵为对角矩阵 则 1） 的特征多项式就是 2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一 确定的,它们就是　的全部特征根(重根按重数计算). 三、对角化的一般方法 1° 求出矩阵A的全部特征值 2° 对每一个特征值 　，求出齐次线性方程组 设 为维线性空间V的一个线性变换， 为V的一组基，　在这组基下的矩阵为A. 步骤: 的一个基础解系（此即　的属于 的全部线性无关 的特征向量在基　　　　　下的坐标）. 3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则 （或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且 　有n个线性无关的特征向量　　　　　　从而　　　　　 T就是基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵. 下的矩阵为 基变换的过渡矩阵. 问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出 例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 在某组基 解：A的特征多项式为 得A的特征值是1、1、－1. 解齐次线性方程组 得 故其基础解系为： 所以， 是　的属于特征值1的两个线性无关的特征向量. 再解齐次线性方程组　 得 故其基础解系为： 所以， 是 的属于特征值－1的线性无关的特征向量. 线性无关，故 可对角化，且 在基 下的矩阵为对角矩阵 即基 到　　　　的过渡矩阵为