北大蓝以中高等代数3.1节.doc

行列式 在第二章我们曾指出，数域上的 阶方阵是线性代数的重要研究对象。本章的目的是为研究阶方阵提供一个有力的工具，这就是一个阶方阵的行列式。 在日常生活中，人们用身高、体重等数据来描述一个人在形体方面的特征。在物理学中，用物体的体积、质量等数据来刻画该物体的物理属性，这种方法也被用来研究矩阵。方阵是一个正方表格，它本身不是数，但我们可以用某些数据来刻画它的某种特征。本章阐述的行列式概念，就是用来刻画数域上的 阶方阵的某种特征的一个重要数据。 §1 平行六面体的有向体积 在给出方阵的行列式的概念之前，我们先来讨论一个重要的几何实例。 在三维几何空间中取定一个右手直角坐标系，如图3.1所示。这时空间任一向量（其起点都放在坐标原点）可用坐标向量表示： 图 3.1 称为在此坐标系的坐标，是唯一确定的。现在是实数域上三维向量空间中的一个向量。三维几何空间中的向量和中的向量按此方法建立一一对应。于是我们不妨直接写成。现在设 那么如果按平行四边形法则把与相加，结果就是（在空间解析几何中已经证明） 对任意实数，又有 这恰好是上一章§1所讲到的上3维向量空间。 关于，我们有下面的基础知识： 在中给定向量组，根据第二章命题1.2，它们线性相关的充分必要条件是有一个向量（设为）能被另一个向量线性表示（即），而在几何上，这表示两向量共线。 给定中向量组，它们线性相关的充分必要条件是有一向量被其余两向量线性表示，例如。在几何上，这表示位于所在的平面内（按向量加法的平行四边形法则）。即空间中三向量线性相关的充分必要条件是它们共面。 给定两向量，它们的点乘是 即为与的长度和夹角余弦的连乘积（当有一为零向量时，）。如果 那么 点乘有如下基本性质： 对称性：； ； . 给定向量，它们的叉乘定义为一个向量，当共线时，为零向量，当不共线时，与所决定的平面垂直，其指向使组成一个右手系，而的长度为 这数值恰为以为边的平行四边形的面积。 如设 那么，在空间解析几何里已证明 为了把上面向量的三个坐标与的坐标之间的关系更清楚的表述出来，现在我们引进一个记号。对任意数域上的二阶方阵 ， 定义 ， 即为此方阵主对角线两元素之积。称为方阵的行列式。于是两向量叉乘的坐标可以写成 如把的坐标写成一个矩阵： 那么的第个坐标为划去上面矩阵的第列后剩下的2阶方阵的行列式再乘以。 向量叉乘有如下性质： 给定中三个向量 以它们为棱组成空间中一个平行六面体（见图3.2）。这个平行六面 图 3.2 体用如下三阶方阵表示： 那么，三向量的混合积 表示这个平行六面体的有向体积，其绝对值等于该平行六面体的体积，当组成右手系时取正号，反之取负号。我们把它记为 按照前面点乘、叉乘的坐标计算公式，有 我们把称为三阶方阵的行列式。所以，一个上三阶方阵的行列式是刻画该三阶方阵（现在代表三维几何空间中一个平行六面体）特性的一个重要数据，它是这个三阶方阵所代表的平行六面体的有向体积。 方阵的行列式有如下基本性质： 根据点乘和叉乘的基本性质可知，如果中有一个向量为两个向量的线性组合，例如（这相当于方阵中第一个行向量为两个向量的线性组合），此时 其中为分别以为第一行的三阶方阵。方阵的行列式的这个性质称为行线性； 如果线性相关，即的行向量线性相关，亦即不满秩，此时三向量共面，它们决定的平行六面体的体积为0，故此时的行列式 如果为三个坐标向量： 那么它们排成三阶单位矩阵 这时它代表的是单位立方体，体积为1，亦即 从上面这个几何实例我们得到如下启示：对任意数域上的阶方阵，我们可以用一个数来刻画它的某种属性（就像用质量来刻画一个物体的物理属性一样），而这个数应满足如下三条基本性质： 如果的某行（或某列）换为两个向量的线性组合，则，其中为分别把该行（列）换为所得的阶方阵； 如果不满秩，则 当为单位矩阵时，应有 在下一节，我们就按这三条原则来给出任意数域上阶方阵的行列式的严格定义。