高等代数(北大版)第4章习题参考答案.doc
第四章矩阵
1.设1〕，2〕，
计算，。
解1〕，
2〕
，
其中
，，
，，
，，
，
，
解。
。
采用数学归纳法，可证
。
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
于是当时，有
，
即证成立。
4〕采用数学归纳法，可证
，
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
，
于是当时，有
，
其中
，
同理可得
，，，
因而有
。
5〕，。
6〕
。
7〕注意到
，
这意味着，假设令
，
那么.下面对
分两种情形讨论
①为偶数，即，于是
，
②为奇数，即，于是
，
故
。
8〕采用数学归纳法，可证
，
事实上，当时，结论显然成立，现在归纳假设
，
于是
，
，
即证结论成立。
，是一个矩阵，定义
。
1〕，；
2〕，，
试求。
解1〕
。
2〕。
，矩阵就称为与可交换，设
1〕2〕
3〕
求所有与可交换的矩阵。
解1〕假设记，并设与可交换，即
，
于是
，
所以
，
故任意，从而所有与可交换的矩阵为，其中为任意常数。
2〕同理，记并设与可交换，即
于是
，
所以
，
比拟对应的元，可得
，，，
，，，
于是所有与可交换的矩阵为
，
其中为任意常数。
3〕设与可交换，即
，
于是
，
故得
,,。
所以所有与可交换的矩阵为
，
其中为任意常数。
其中〔当时〕〔〕，证明：与可交换的矩阵只能是对角矩阵。
证设与可交换，于是由
，
有
，
即〔当时〕.有因为，所以。于是，与可交换的矩阵只能是对角矩阵
。
，
其中〔当时〕〔〕，是阶单位矩阵，证明：与可交换的矩阵只能是准对角矩阵
，
其中是阶矩阵〔〕。
证设
与可交换〔其中是阶矩阵〕，那么由，可得
当时，由及，因而必有。
于是，与可交换的矩阵只能是准对角矩阵
，
其中是阶矩阵〔〕。
表示行列的元素〔即元〕为1，而其余元素全为零的矩阵，而．证明：
1〕如果，那么当时，当时；
2〕如果，那么当时，当时，且；
3〕如果与所有的阶矩阵可交换，那么一定是数量矩阵，即。
证1〕因为
，
所以
，。
即当时，当时。
2〕因为
列
行
所以当时，当时且。
3〕与任何矩阵相乘可交换，必与相乘可交换，于是由得
〔〕，
因此是数量矩阵。
，证明：
。
证，
。
，证明：当且仅当。
证充分性.假设，因为
，所以。
必要性.假设，那么，即，即证。
为对称的，如果.证明：如果是实对称矩阵，且，那么。
证设
，
那么
。
由有
，
因而必有
，
即证。
都是对称矩阵，证明：也对称当且仅当可交换。
证当时，有
，
所以是对称矩阵。
反之，当时，有
。
称为反对称的，如果，证明：任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。
证设是任一矩阵，因为，
且是对称矩阵，是反对称矩阵，所以结论成立。
.证明：
证由题设知
。
是矩阵，证明：存在一个非零矩阵使的充分必要条件是。
证充分性.假设，那么齐次方程组有非零解
，
只要取
即可。
必要性.设，使，这里是的列向量。不失一般性，设，那么由，得
。
因此，，即有非零解，从而
。
是矩阵，如果对任一维向量都有，那么。
证证法1由题设知，维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组的解，故方程组的根底解系含有个线性无关的解向量，所以，即证。
16设为一矩阵，为矩阵，且.证明：
如果，那么；
如果，那么。
证1〕假设，设，，因，不失一般性，可设
。
由，得
因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即
，
因而。
假设，那么
，
由1〕知，因此。
17.证明：
。
证设，，那么
。
假设与分别是与的列向量组的极大线性无关组，那么有
于是
，
即的列向量组可由线性表出，故
。
为矩阵，证明：如果，那么
。
证设的列向量组为，那么
，
故有
。
即方程组有组解。
假设，那么可由个线性无关的解向量线性表出，于是。因此
。
19.证明：如果，那么
。
证
。
即证
。
，设
，
解1〕。
2〕对作行初等变换，有
，
所以
。
3〕对作行初等变换，可得
，
所以
。
4〕对作行初等变换，可得
，
所以
。
5〕对作行初等变换，有
，