高等数学-9.4 高斯公式 斯托克斯公式.pptx

9.4高斯公式斯托克斯公式

一、高斯公式

二、斯托克斯公式

高斯公式

定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面

面所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),,R(x,y,z),在

上有一阶连续偏导数,则有

PQR

dV

PdydzQdzdxRdxdy

xyz

PQR

或dV(PcosQcosRcos)dS.



xyz

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ

是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦．公式叫做

高斯公式．

高斯公式

例1用高斯公式计算(xy)dxdy(yz)xdydz



其中为柱面x2y21及平面z=0,z=3所围空间

闭域的整个边界曲面的外侧.z

解:这里P(yz)x,Q0,Rxy3

利用高斯公式,得

(yz)dxdydz

原式=O

1y

x

9π



2

9.4高斯公式斯托克斯公式

一、高斯公式

二、斯托克斯公式

斯托克斯公式

定理2设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边

界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右

手规则，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)

在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续

偏导数，则有

RQPRQP

dydzdzdxdxdy



yzzxxy

PdxQdyRdz



公式叫做斯托克斯公式．

为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:

dydzdzdxdxdy



PdxQdyRdz



xyz

PQR

或用第一类曲面积分表示:

coscoscos



dSPdxQdyRdz



xyz

PQR

斯托克斯公式

例2计算Izdxxdyydz



其中Γ为平面x＋y＋z＝1被三个坐标面所截成的三角

形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向

量之间符合右手规则．

解:按斯托克斯公式，有

dydzdzdxdxdy



Izdxxdyydz

xyz