高斯公式与斯托克斯公式.ppt

下一页主页返回退出下一页主页返回退出教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．01教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．01基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．01AB斯托克斯(Stokes)公式高斯(Gauss)公式一、高斯公式定理22.3设空间闭区域V由分片光滑的在V上有连续的一阶偏导数,则有闭曲面S所围成,S的方向取外侧,函数P,Q,R下面先证:证明设为XY型区域,则所以若?不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：例1计算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向.解与平面例计算所围的空间区域的表面，方向取外侧.解其中S为锥面设S1为上半球体的底面，例计算的外侧.解其中S是上半球面取下侧.于是斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S01的边界曲线L的曲线积分之间的联系.02对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：03设人站在曲面S上的指定一侧，沿边界曲线L行走，04指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线05L的正向.06这个规定方法也称为右手法则.07二、斯托克斯公式定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑曲线,同L）上具有连续一阶偏导数，则有S的侧与L的正向符合右手法则,在S（连如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,04故格林公式是斯托克斯公式的特例.03则斯托克斯公式就是格林公式,02注意:01为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:证:情形1?与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设?取上侧(如图).则(利用格林公式)因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;01情形2曲面?与平行z轴的直线交点多于一个,02则可03通过作辅助线面把?分成与z轴只交于一点的几部分,04在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,05由于沿辅助06曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,07所以对这08类曲面斯托克斯公式仍成立.09证毕例2.利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，解取逆时针方向为正向如图所示.记三角形ABC为S,取上侧,则例.利用斯托克斯公式计算积分其中L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆正向.解记以L为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有下一页主页返回退出下一页主页返回退出