正交矩阵与正交化方法.ppt
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补充知识
是一个数
只证
思考题PART1
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矩阵正交分解与求矩阵全部特征值QR方法.ppt
第7章 矩阵特征值问题
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1. Householder变换与矩阵的正交分解 一、初等反射阵(Householder变换阵)
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矩阵的正交分解和求矩阵全部特征值的QR方法.ppt
第7章 矩阵特征值问题;;;H阵的性质：;;H阵的作用：;;;构造初等反射阵;;;;;;;2、矩阵的正交分解;;;;;;;;; 3. 求矩阵全部特征值的QR方法; 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛Ak｝ “基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛Ak ｝ “基本”收敛于对角矩阵。;平面旋转阵(Givens变换阵);;;;;;;２、用 Givens变换对上Hessenberg阵作QR分解;;;;;;;;;;
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最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法（亦即用正交.doc
第二学期第六次课
第六章 §3 对称变换
设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对V，都有
（A,）, A)
则称A是V内的对称变换.
命题 维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵A是实对称矩阵.
证明 设=()X, =()Y,则
（A,）,(, A)=
由（A,）, A)可得.
命题 实对称矩阵A的特征根都是实数.
证明 设是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=X.于是,从而;另一方面, .得到.
命题 维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值的特征向量必正交.
证明 A=,A=,于是
()=(A,)=(,
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标准正交基与正交矩阵.ppt
4.5 标准正交基与正交矩阵 黄凤英 第*页 共94页 4.5 标准正交基与正交矩阵 黄凤英 信息科学与计算学院 内积的定义 主要内容 内积的性质 向量的长度和夹角 正交向量组的性质 正交基与规范正交基 正交矩阵 正交变换 定义1 设有 n 维向量 令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积. 一、内积的定义 内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数 阵记号表示. x 与 y 都是列向量，有 [x, y] = xTy = yTx . 这种运算也可用矩 例如： （1）
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正交、正定、幂等矩阵.pdf
正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏
正交、正定、幂等矩阵
矩阵理论在现代统计分析中有着广泛的应用，成为统计学中不可或缺的工具，同时统计
学中又提出了许多新的有关矩阵论的课题，刺激了矩阵论的发展。本文将对统计学中最常见
的三种特殊矩阵——正交矩阵、正定矩阵、幂等矩阵的性质及其应用进行总结 。
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第一部分、正交矩阵
在代数中，矩阵
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4_3正交矩阵.ppt.ppt
《线性代数》 下页 结束 返回 一、向量内积等（复习） 二、向量组的正交化标准化 下页 第3节 正交矩阵 三、正交矩阵 定义1 设a=(a1, a2, ???, an )T与b=(b1, b2, ???, bn )T是两个n维向量, 则实数 称为向量a和b的内积，记为(a , b ). 或aTb . 内积的定义(复习) 下页 内积的性质(复习) 设a，b，g 都为 n维向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) =
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正交矩阵与其性质.ppt
* * 4.3 正交矩阵及其性质 * * 定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设 按列分块为[a1,a2,...,an], * * 于是 因此ATA=I的充分必要条件是 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法 * * 定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵;
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2.6内积和正交矩阵.ppt
?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;对于给定向量空间，如果已知其一组基，;?
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正交矩阵的性质.ppt
习题课正交矩阵的性质第1页，共19页，星期日，2025年，2月5日习题课正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根第2页，共19页，星期日，2025年，2月5日一、正交矩阵的定义及简单性质
问题①正交矩阵之和？1定义，若称A为正交矩阵2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵②数乘正交矩阵？第3页，共19页，星期日，2025年，2月5日③A为正交矩阵②A为正交矩阵①A为正交矩阵3正交矩阵的判定第4页，共19页，星期日，2025年，2月5日的关系如何？④元素与其余子式，代数余子式③当某时，②的上界？问题
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向量正交与矩阵.pdf
第七章正交性与最小二乘法
一、向量的内积
定义1：设中的向量=,,⋯，=
12
,,⋯则与的内积定义为：
12
=,,⋯
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反对称矩阵与正交矩阵对角矩阵的关系.doc
反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系河南理工大学与信息科学专业200级矩阵在高等代数中有着广泛的应用，本文主要讨论了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的初等变换，并举例说明和分析了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系 Author Name：zhangcan
Henan Polytechnic University School of College Mathematics and Information Science
Mathematics and Applied Mathematics Class 2 Gr
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理学数值分析72矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法.ppt
２、用 Givens变换对上Hessenberg阵作QR分解 第7章 矩阵特征值问题 1. Householder变换与矩阵的正交分解 一、初等反射阵(Householder变换阵) H阵的性质： W H阵的作用： W 构造初等反射阵 可构造初等反射阵 2、矩阵的正交分解 2、QR分解的实际计算 用Householder变换对A作QR分解 3. 求矩阵全部特征值的QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取
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各种矩阵角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵.doc
三对角矩阵
在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：
性质
三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足 ak,k+1 ak+1,k 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ak,k+1 ak+1,k 0 换为 ak,k+1 ak+1,k ≥ 0，结论仍然成立
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73正交变换和正交矩阵.doc
7.3正交变换和正交矩阵
授课题目：7.3正交变换和正交矩阵
教学目标：
理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系
授课时数：3学时
教学重点：正交变换的性质
教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质
教学过程：
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
设{}是n维欧氏空间的两个标准正交基，U （U=（））
则
定义7.3.1 设是实数域上的n阶矩阵, 如果
,
则称为正交矩阵.
定理7.3.1 设在n维欧氏空间中由标准正交基对基的过渡矩阵是, 那么是标准正交基的充分必要条件是为正交矩阵.
证明: 必要性已证.
现证充分性. 设为正交矩阵, 则成立,
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正交变换与正交矩阵.ppt
* *§7正交变换与正交矩阵正交变换的定义正交变换的性质旋转变换与镜像变换正交矩阵正交矩阵的分解正交变换**恒同变换是正交变换,两个正交变换的乘积仍然是正交变换.01内积不变?长度不变,夹角不变02命题5.1:正交变换把规范正交基变为规范正交基.03证明04证明05旋转变换及其矩阵**镜像变换及其矩阵**正交变换的矩阵**矩阵A的列两两互相正交,它的行也两两互相正交,即正交变换与正交矩阵**证明二维欧氏空间的正交变换**1证明：2分两种情况讨论．Householder矩阵**因此,镜像变换的矩阵为（Householder矩阵）求解求解正交矩阵的分解**证明:对正交矩阵的阶数采用数学归纳法.01