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7.3正交变换和正交矩阵 授课题目：7.3正交变换和正交矩阵 教学目标： 理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系 授课时数：3学时 教学重点：正交变换的性质 教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质 教学过程： 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。 设{}是n维欧氏空间的两个标准正交基，U （U=（）） 则 定义7.3.1 设是实数域上的n阶矩阵, 如果 , 则称为正交矩阵. 定理7.3.1 设在n维欧氏空间中由标准正交基对基的过渡矩阵是, 那么是标准正交基的充分必要条件是为正交矩阵. 证明: 必要性已证. 现证充分性. 设为正交矩阵, 则成立, 从而是标准正交基. 例1：证明每一个n阶可逆矩阵A都可以唯一表成A=UT的形式，这里U是一个正交矩阵，T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。 证明：存在性，由于A为n阶非奇异实矩阵，故A=的列向量线性无关，从而为的一个基，实行单位化 令 从而T也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于是标准正交基，故有是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有其中为正交矩阵，为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则 即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证 故 思考题 设是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合 练习 设V是一个欧氏空间, 是一个非零向量,对于 , 规定V的一个变换 证明:τ是V的一个正交变换,且 ι是单位变换. 例2：设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。 证明，存在V的一个正交变换，使 如果V的一个正交变换，使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。 证：（1）一定存在一个变换使及为标准正交基，故为正交变换 ( 2 )证 先证设 另一放面，若则，因为是正交变换，故是V的一个标准正交基，不妨令 故 因而 有是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有其中为正交矩阵，为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则 即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证 故 例2：设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。 证明，存在V的一个正交变换，使 如果V的一个正交变换，使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。 证：（1）一定存在一个变换使及为标准正交基，故为正交变换 证 先证 设 另一放面，若则，因为是正交变换，故是V的一个标准正交基，不妨令 故 因而 二、正交阵的判断。 定理7.3.2：U是n阶正交矩阵的行（列）向量组成n维欧式空间的一个标准正交基。 证： 必要性 设U是正交矩阵则有 =I 令U=（，……，）T =( … )= 在欧氏空间中有=, i,j=1,2,3,…… n 故有==I 故 ,= 因而，……，是的标准正交基 充分性 设，……，是的一个标准正交基，以上过程可逆 有=I，从而是正交矩阵。 三、正交矩阵的性质 ⑴ 正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵； 故 ⑵ 两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵； ⑶ 正交矩阵的行列式为； 故 四、正交变换 1 定义7.3.2：是欧氏空间的一个线性变换，如果 有 则称是的一个正交变换。 2 正交变换的判断 定理7.3.3 是的一个线性变换，于是以下四个命题等价： ⑴ 是的正交变换； ⑵ ，有，=,； ⑶ 若是的标准正交基则也是的标准正交基； ⑷ 是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。 证明：用⑴⑵⑶⑷⑴的循回证法来证明， ⑴⑵ 是正交变换有 = 而 =,=, = ,+2,+, =,=,+2,+, ,=, , ,=, 故，=, ⑵⑶ ,=,= 故 ，，……，是的标准正交基。 ⑶⑷ 设是的标准正交基，关于基的矩阵为 （= ,均为标准正交基 故 是正交基。 ⑷⑴ 设是关于标准正交基的矩阵的正交矩阵， 即 = ， ，…，也是标准正交基。 则有 ,=(), = = 即 推论1：正交变换保持向量的夹角不变。 =arccos=arccos= 注意：逆命题不一定成立。 当取定了标准基之后，正交变换与正交矩阵