正交变换和小波变换.ppt

正交变换的一般表达; 二维方阵 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核 ; 可分离性 如果 如果函数t1等于t2，那么，这个核是加法对称的，则： 逆向核的可分离性解释同上。; 变换核的可分离性和对称性 二维傅立叶变换是通用变换的特殊情况，它的核为： 显然是可分离和对称的，因为： 容易证明，逆向傅立叶变换核也是可分离的和对称的。; 运算步骤： 一个可分离核的变换可以分为两步计算，每步只需进行一个一维变换。首先，沿f(x,y)的每一行(x)取一维变换，可得： 然后沿G(x,v)的每一列(v)取一维变换，得到： 这种运算使得图像的傅立叶变换大大简化。; 正交变换矩阵表达 ; 酉变换是对于给定的向量用酉矩阵实施的一类变换。 所谓酉矩阵是指满足如下条件的矩阵： 若T是一个酉矩阵，且所有元素为实数，则它是一个正交矩阵，满足： 其中 的第(i,j)个元素表示第i行和第j列的内积。; 核矩阵的各行构成了N维向量空间的基向量。 这些行(i)是正交的： 是克罗内克(Kronecker)符号,当j＝k时为1，否则为0。 通常要用同一种形式的基函数作用于整个原信号的数集，例如傅立叶变换用复指数作为基函数原型函数。 ; 除了傅立叶变换外，很多变换在核矩阵中只有实元素，因此也为正交变换。 分解过程：将信号向量分解成它的各个基函元分量，这些基元分量自然以基向量的形式表示；各个基元分量在原信号中所占的份额由变换系数决定。 逆变换：将各个分量相加，合成，以恢复具有与原始向量相同的元素个数的向量，且变换系数规定了重构原始向量时各个分量的大小。 ; 其它离散正交变换包括沃尔什变换，哈达玛变换，离散余弦变换，哈尔变换以及K-L变换，它们与傅立叶变换具有相同的形式。 ;沃尔什变换;沃尔什变换;沃尔什变换;Walsh变换矩阵; 二维哈达玛变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核 ;Hadamard变换矩阵;当f(x)或f(x,y)为偶函数时，变换的计算公式只有余弦项。 一个任意函数采样从0,1,2,…,N-1，若向负方向折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N的偶函数傅立叶变换。 余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法 ;离散余弦变换;傅立叶变换的局限;1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subband coding),多采样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波 1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。 1988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。;小波的应用;; 傅立叶变换 以正弦函数作为正交基函数；离散傅立叶变换也是以整个域中非零基向量作为变换核向量的。带来应用局限性。 例如，图像中某些局部特征，边缘或者轮廓线条等，同傅立叶变换核函数的周期性质相距甚远，以至于傅立叶变换不能对这样的局部特征作出最佳表示;小波变换; 小波 若 是一个实函数，且频谱 满足： 则 被成为一个基本小波，或者小波基函数(basic function); 小波基函数（积分核） 一组小波基函数表示为 ，它们是通过平移和伸缩基本小波来构造的： 式中，变量b指出其沿x轴的平移量；变量a反映一个特定基函数的尺度(宽度)，a0，且与b同为实数。 ;小波变换;1. 连续小波变换;小波函数必须满足以下两个条件的函数： 小波必须是振荡的； 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：;不是小波的例;2. 离散小波变换;2. 离散小波变换;2. 离散小波变换;二维小波变换（二维多尺度分析） 二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函