曲面变换之正交变换.doc

曲面变换应用 正交变换之详讲 摘要：曲面变换之正交变换，保持变换前后的向量内积不变，从而保持向量的长度与夹角不变。这一刚性性质决定着正交变换有着广泛的应用。多元函数积分中，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证。本文着重论述正交变换在积分中的应用。 关键词：正交变换 变量替换 曲线积分 曲面积分 Surface transform application Details of orthogonal transformation told Abstract：The orthogonal transform, curved transformation of vector before and after keeping transformation, so as to keep the product remains within the length and Angle vector invariant.This determines a rigid properties of orthogonal transform a wide range of applications.Multivariate function points, the use of orthogonal transform variable replacement is mathematical analysis and algebra to the method and combining with examples.This paper focuses on the application of orthogonal transform in integral. Keywords：Orthogonal transformation Variable replacement Curvilinear integral Surface integral 引言：曲线积分和曲面积分中，通过正交变换进行变量替换使得非平面曲线和非平面曲面上的积分化为二维空间上的曲线和曲面积分。这一应用使得积分解题变得简便和灵巧。 一·简述正交变换及正交变换下的变量替换 1.定义 解析几何中，正交变换就是保持点之间距离不变的变换。高等代数中给出了一般欧式空间中关于正交变换的定义。欧式空间V的线性变换?称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的α、βV，都有（α，β）=（α，β） 2.引理 设变换：，将平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域，一对一地映成平面上的闭区域D，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的行列式 ， 则区域D的面积 二．正交变换下的不变性 1.第一类曲面积分在正交变换下的不变性 定理：设坐标，以正交矩阵对其作正交变换,形成另一坐标系下的，原坐标系下的曲面相应变换成新坐标系下的曲面，则有： 证明：设,曲面的参数方程，其中。令 ，则有： 令曲面的参数方程为 ，， 易知：且.而,故。进而有： 于是可证得第一类曲面积分在正交变换下的不变性。 设是上的连续函数，是单位球面是不同时为0的常数，则 证明：设.在平面上任取两个正交的单位列向量，构造矩阵。其中， 易证为正交矩阵。 令，由正交矩阵性质知的像仍为单位球面且雅可比行列式，则 再令，则有 2.重积分在正交变换下的不变性 定理：设为正交矩阵，且其行列式为1.右手坐标系在正交变换下形成另一右手坐标系下的，原坐标系下的区域相应变换成新坐标系下的曲面，则 证明：易知雅可比行列式.则由引理可证得该式成立。 例2.设是上的连续函数，是单位球体，是不同时为0的常数。则 证明：设，。在平面上任取两个正交的单位列向量，构造矩阵。其中为右手系，且 易证为正交矩阵，且其行列式值为1. 令，由正交矩阵性质知的像认为单位球体，故 三．正交变换在曲线、曲面积分计算中的应用 1．正交变换下的曲线、曲面积分公式 设和分别为三维欧式空间内的光滑曲线和曲面， ， 均为或上的连续函数；而 为欧式空间中的正交变换；与分别为与在上述变换下的象，分别为与变换的复合函数，以下四个公式成立： （1） （2） 或 （3） （4） 或 其中，是正交变换的行列式， 和分别为和的单位法向量。 2.应用举例 例1.计算第一型曲线积分，其中为曲线上从到的一段弧。 解：是一条平面曲线，但不易写出其参数方程。为此，作如下正交变换。此交换将平面变成坐标面。由于 且当时，；当 时， 。故变换将曲