各种矩阵角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵.doc

三对角矩阵 在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵： 性质 三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足 ak,k+1 ak+1,k 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ak,k+1 ak+1,k 0 换为 ak,k+1 ak+1,k ≥ 0，结论仍然成立。 所有 n × n 三对角矩阵的集合组成一个 3n-2 维向量空间。 许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个 n 阶三对角矩阵 A 的行列式能用 continuant（Continuant）的递归公式计算： 这里 是第 k 个主子式，即 是由 A 最开始的 k 行 k 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 n ，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。 计算程序 一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。 一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如，LAPACK Fortran包将一个 n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长 n 包含对角元素，其它两个长为 n? 1 包含下对角线和上对角线元素。 三对角矩阵方程 ，能用一种需要 O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。  正交矩阵 概述 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。 要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vTv。如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，则 。 所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。 有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个群，即指示为O（n）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是O（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换（用于MP3压缩）可用正交矩阵表示。 例子 下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。 ? 恒等变换。 ? 旋转16.26°。 ? 针对x轴反射。 ? 旋转反演（rotoinversion）:轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。 ? 置换坐标轴。 基本构造 低维度 最简单的正交矩阵是1×1矩阵[1]和[?1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。 如下形式的2×2矩阵 它的正交性要求满足三个方程 。 在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p?= cos?θ, q?= sin?θ；因此要么t?= ?q, u?= p要么t?= q, u?= ?p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ?= 0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。 旋转反射 在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0): 。 单位矩阵也是置换矩阵。 反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。 更高维度 不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如， 和 表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。 旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述3×3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。 但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。 基本变换 最基本的置换是换位（transposition），通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以构造为最多n?1次换位的积。 构造自非零向量v的Householder反射为 。 这里的分子是对称矩阵，而