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正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏 正交、正定、幂等矩阵 矩阵理论在现代统计分析中有着广泛的应用，成为统计学中不可或缺的工具，同时统计 学中又提出了许多新的有关矩阵论的课题，刺激了矩阵论的发展。本文将对统计学中最常见 的三种特殊矩阵——正交矩阵、正定矩阵、幂等矩阵的性质及其应用进行总结 。 [1] 第一部分、正交矩阵 在代数中，矩阵是线性空间中线性变换的一种描述，在一个线性空间中，只要我们 选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能用一个确定的矩阵来描述 （矩阵实质上是对 线性空间中跃迁的一种描述详见[3]）. 当然，对于正交变换我们很自然地定义了正交矩阵， 它有一种很好地性质——保持长度不变. 正交矩阵作为线性变换中一种性质最好的变换矩阵，它的行和列向量彼此相互垂直（进 而彼此线性无关）并且都是单位向量，这种特殊性质在统计学中有着很广泛的应用，下面我 们主要就正交矩阵的定义及其性质进行探讨. A 定义1.1 实数域上的 级矩阵 如果满足 n AAT I A 那么称 是正交矩阵. 从定义1.1 立即得出： 定理1.1 实数域上的 级矩阵 是正交矩阵等价于下面的三条结论中的任意一条： n A （） T （） 非奇异，并且 1 T ； （） T 1 AA I 2 A A A 3 A A I . 同时，正交矩阵还有如下的性质： I （1） 是正交矩阵； A B AB （2）如果 和 都是正交矩阵，则 也是正交矩阵； A 1 T （3）如果 是正交矩阵，则 （即 ）也是正交矩阵； A A （4）如果 是正交矩阵，则 或 . A det A 1 1 注：上述性质是很容易证明的，这里一并略去. 定理 设实数域上的 级矩阵 的行向量组为γ , γ ,…, γ ；列向量组为 1.2 n A 1 2 n 1 正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏 α ,α ,…,α . 则 1 2 n （1） 为正交矩阵当且仅当 的行向量组满足 A A 1 , as i j , T  γ γ  i j 0 , as ij ;  （） 为正交矩阵当且仅当 的列向量组满足 2 A A 1 , as i j , T  α α  i j 0 , as i