实二次型分类、正定矩阵.ppt

§3 实二次型的分类、正定矩阵 判定正定矩阵的条件 定义1 具有对称矩阵A的二次型 f(X)=XTAX XTAX0 (或0) 则称f(X)=XTAX为正定(负定)二次型. 称矩阵A为正定矩阵(负定矩阵). 例1 二次型f(x1,x2,…,xn)=x12+x22+…+xn2 是正定二次型 其矩阵In是正定矩阵 定义2 具有对称阵A的二次型 f(X)=XTAX XTAX≥0 (或≤0) 则称二次型f(x)=xTAx为半正定(半负定)二次型 矩阵A称为半正定(半负定)矩阵. 可写成 f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-2x3)2 ≤0 而当 x1+x2-2x3=0时, f(x1,x2,x3)=0 故 f(x1,x2,x3)是半负定二次型. 正定、负定、半正定、半负定统称为二次型及其矩阵的有定性。 其它二次型及其矩阵称为不定的。 由 f(1,1)=-1 0 f(2,1)=2 0 故它是不定二次型. 若A与B合同,存在可逆阵C,使CTAC=B 若A是正定的,对任意Y≠0, 令X=CY,则X≠0, YTBY=YTCTACY=(CY)TACY=XTAX0 故B也是正定的.即有合同关系保持正定型. 定理1 设A为正定矩阵,若A与B合同,则B也是 正定矩阵. 类似可以证明: 与负定矩阵合同的矩阵是负定矩阵.与半正定 (半负定)矩阵合同的矩阵是半正定(半负定)矩阵. 任一对称阵合同于对角阵,而对角阵的有定性 较易判别. 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形， 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然， 其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含 有的非零项数是确定的，项数等于二次型的秩．进 一步，标准型的正平方项数（称为正惯性指标）， 负的平方项数（负惯性指标）唯一. 证明略. X=CY 特征值为0,0,3 故A是半正定的 特征值为-1,-1,8, 二次型是不定的 推论 若A正定,则|A|0 注意 |A|0不能得到A正定 定理5 若A,B是正定阵,则 (1)A可逆 (2)A-1也是正定阵 (3)A*,Am也是正定阵. (4)kA,(k0)是正定阵. (5)A+B是正定阵. 利用特征值可以证明上述结论. 称为A的k阶顺序主子式. 即|A1|=a11 …,|An|=|A| |A1|=1 |A4|=|A| =-8 =-8 可以证明: 解:A的顺序主子式为 |A1|=5 0 =260 =840 故A是正定矩阵. 反之未必成立 |A1|=10 |A3|=|A|=0 不是半正定的. 故A不是半正定矩阵. 若A是负定阵,则-A是正定阵. 而 |(-A)k|=|-Ak|=(-1)k|Ak| 可见,若A有定,则A的偶数阶顺序主子式非负. 因此,若A的某个偶数阶顺序主子式小于零,则A不定. |A2|=|A|=20 故A是负定的.