§P155.3正定二次型与对称正定矩阵.ppt

5.3.1、正(负)定二次型的概念 5.3.4、小结 * * §5.3 正定二次型与对称正定矩阵 由定义可知，正定矩阵必是半正定矩阵，但是半正定矩阵不一定是正定矩阵。 为正定二次型 为负定二次型 例如 一个二次型既不是半正定的，也不是半负正定的，则称是不定的二次型。 为半正定二次型。 为半负定二次型。 为不定二次型。 定理1 非退化线性变换不改变二次型的正定性， 证明：设A是正定的， 与定理1等价的有 定理2 合同变换不改变对称矩阵的正定性， 5.3.2、正(负)定二次型的判别 定理3 设n元实二次型 的秩为r，正惯性指标为p, 负惯性指标为q，则二次型为 (1) 正定的充要条件是p=n, (2) 负定的充要条件是q=n, (3) 不定的充要条件是0＜p＜r≤n, 0＜q 定理4 设A是n阶对称矩阵，则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值全是正数。 (2) A是正定的充要条件是A与单位阵合同， (3) A是正定的，则|A|＞0 定理5 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 设二次型 是正定的，对每个k，1≤k≤n,令 证明 必要性： 定理6 设B是m×n矩阵，则BTB是对称半正定矩阵。如果B的秩是n，那末BTB还是正定矩阵。 如果B的秩是n，即B的列向量线性无关，因此当X≠0时，必定有Y=BX≠0，从而有 所以这时BTB是正定矩阵。 证明：由(BTB)T=BT(BT)T=BTB,可见BTB是对称矩阵。 所以BTB是半正定矩阵。 正定矩阵具有以下一些简单性质 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例2 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型. 即知 是正定矩阵， 例3 判别二次型 的正定性. 解 例4 设矩阵 判断矩阵A是否为正定，是否为负定? 解 取向量 所以A不是正定的。 例5 判别二次型 解 二次型的对应矩阵为 的正定性. A和2A具有相同的正定性，故判定2A的正定性即可。 2A的全部顺序主子式都大于0. A正定，f正定. 例6 判断n阶(n≥2)矩阵A是否是正定阵. 解法1 顺序主子式： 正定 解法2 求A的特征值. 得A的特征值为 全大于零. 故A正定. 解法3 见p233例5.3.2 例7 设A,B是n阶实对称阵，其中A正定, 试证当实数t充分大时，tA+B也正定. 仍是对称阵，故存在正交阵R， 证 由A正定，存在可逆阵Q使A=QTQ， 即(QT)-1 AQ-1= (Q-1)T AQ-1=E， 令P=Q-1，则有PTAP=E. 使 其中 是 的特征值.