反对称矩阵与正交矩阵对角矩阵的关系.doc

反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系河南理工大学与信息科学专业200级矩阵在高等代数中有着广泛的应用，本文主要讨论了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的初等变换，并举例说明和分析了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系 Author Name：zhangcan Henan Polytechnic University School of College Mathematics and Information Science Mathematics and Applied Mathematics Class 2 Grade 2007 Abstract: Matrix has been widely used in higher algebra. This paper mainly discusses the calculations properties and elementary transformation of antisymmetry matrix, orthogonal matrix and diagonal matrix, and illustrates and analyzes the application problems of antisymmetry matrix, orthogonal matrix and diagonal matrix matrix in resolving the calculation of matrix eigenvalue and the proof of relevant matrix. We can understand their properties better through researching their relationship, thus flexibly using matrix to build some mathematical models to solve the actual problems. Keywords:antisymmetry matrix orthogonal matrix symmetric matrices determinant eigenvalue §1引言 在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容.本文从反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的最主要的性质入手，来讨论他们之间的关系。 1.反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的概念 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.定义2 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.定义3 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵），以上四个定义是等价定义.对角矩阵的定义：主对角线上的元素不全为零，其余的元素全都为零的方阵称为对角矩阵， 　　　　　　 2.反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的性质 .反对称矩阵的性质 .正交矩阵的性质 设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. 性质1 ∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； 性质2 A′，A*也是正交矩阵； 当∣A∣=1时，，即； 当∣A∣=-1时,,即. 性质3 若也是正交矩阵，则都为正交矩阵. 证明： 1显然 所以也是正交矩阵. 2，显然为正交矩阵. 由 ， 当 时，，即 当 时，，即 所以为正交矩阵. 3由 ， 可知 故为正交矩阵.由1,2推知均为正交矩阵. 正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了. .对角矩阵的性质 对于方阵，经过分块后，非0对角块都只在主对角线上，而且每个小块都是方阵；即 ，其中都是方阵，那么称为方块对角矩阵。有如下性质： （1）行列式。 （2）若则，并且有 . （3）分块对角阵的乘法， （4）分块对角阵的转置， ，那么 3.反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的应用 定义3.1 将一个分块矩阵用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为的子块。以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。我们将单位矩阵分块：，其中是阶单位矩阵（）称为分块单位矩阵。 3.1 反对称矩阵的应用举例 欧式空间中的线性变换称为反对称变换，若 .证明：反对称当且仅当在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵. 证 充分性：设是线性变换在标准正交基下的矩阵，且反对称，即，任给，记，则有，那么 ，所以为反对称变换. 必要性：设是反对称变换，且，其中矩阵，为的标准正交基，那么， ，因此，所以.即知为反对称矩阵. 1 正交矩阵在线性代数中的应用 在线性代数中我