线性变换的对角矩阵.ppt

*§5线性变换的对角矩阵主要内容对角化概念对角化的条件目录下页返回结束对角化的计算方法一、对角化概念*首页上页下页返回结束对角矩阵是矩阵中最简单的一种.于是问题变为哪些线性变换在一组适当的基下可以是对角矩阵.首页上页下页返回结束二、对角化的条件*证对特征值的个数作数学归纳法.由于特征向量是不为零的,所以单个的特征向量必然线性无关.现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关,我们证明属于k+1个不同的特征值?1,?2,…,?k+1的特征向量?1,?2,…,?k+1也线性无关.假设有关系式a1?1+a2?2+…+ak?k+ak+1?k+1=0(1)成立.等式两端乘以?k+1,得a1?k+1?1+a2?k+1?2+…+ak?k+1?k+ak+1?k+1?k+1=0(2)第(1)式两端同时施行变换σ,得a1?1?1+a2?2?2+…+ak?k?k+ak+1?k+1?k+1=0(3)第(3)式减去第(2)式得a1(?1-?k+1)?1+…+ak(?k-?k+1)?k=0.根据归纳法假设,?1,?2,…,?k线性无关,于是ai(?i-?k+1)=0，i=1,2,…,k.这时等式*首页上页下页返回结束但?i-?k+1?0(i?k)，所以1ai=0，i=1,2,…,k.2a1?1+a2?2+…+ak?k+ak+1?k+1=03变成ak+1?k+1=0.4又因为?k+1?0,所以只有ak+1=0.5所以?1,?2,…,?k+1线性无关.6根据归纳法原理,定理得证.7推论1如果在n维线性空间V中,线性变换σ的特征多项式在数域P中有n个不同的根,即σ有n个不同的特征值,那么σ在某组基下的矩阵是对角形的.因为在复数域中任一个n次多项式都有n个根,所以上面的论断可以改写成推论2在复数域上的线性空间中,如果线性变换σ的特征多项式没有重根,那么σ在某组基下的矩阵是对角形的.1在一个线性变换没有n个不同的特征值的情形如何判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形?2为此,把定理8推广为3这个定理的证明与定理8的证明相仿,也是对k作数学归纳法.证明略.根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形的.于是σ在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条件也可叙述成：当线性变换σ在一组基下的矩阵A是对角形时:σ的特征多项式就是*首页上页下页返回结束|?E-A|=(?-?1)(?-?2)…(?-?n).综上讨论,可得线性变换在某组基下的矩阵是对角形的另一个充要条件:于是可得矩阵相似于对角形矩阵的一个充要条件:解σ的特征多项式为问是否存在一组基,使σ在这组基下的矩阵为对角矩阵?例1设线性变换σ在基?1,?2,?3下的矩阵为所以,σ的特征值为*首页上页下页返回结束由于σ只有一个特征值-1,属于-1的所有线性无关的特征向量是线性方程组01(-E-A)X=002的基础解系.03(该方程组的基础解系所含的向量个数为13,即σ没有3个线性无关的特征向量).1所以σ在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵.2解三、对角化的计算方法*首页上页下页返回结束注:对角形矩阵中主对角线上的元素(即特征值)的次序应与C的列向量的次序相对应.由§4的例4知σ的特征值是-1,-1,5,而对应的特征向量是