线性变换的矩阵过程稿.ppt

6.3 线性变换的矩阵 教学难点：线性变换矩阵的性质 * 返回 后页 前页 教学目标：掌握线性变换的矩阵的定义与性质 授课题目： 6.1 线性变换的矩阵 授课时数：4学时 教学重点：线性变换矩阵的定义 一. 线性变换的矩阵表示 1) V的任一线性变换σ，由它在基 {α1，α2，…，αn }上的作用惟一确定，即如果 σ(αi )＝τ (αi ) (τ∈L ( V ) , i= 1, 2, …, n), 则σ= τ; 定理6.3.1　设V是数域F上的一个 n 维线性空间， {α1，α2，…，αn }是V的一个基． 1. 线性变换对基的作用的重要性 证　只须证2）． 设ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn 是V的任意向量， 规定V的一个变换σ: σ(ξ)= x1β1+ x2β2, …, xnβn . 这时，有σ(αi)= βi , i=1, 2, …, n. 以下我们证明σ是V的线性变换． 2) 任给β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一 线性变换σ，使σ(αi)= βi ( i = 1, 2, …, n). 设η=y1α1+ y2α2+…+ ynαn∈V , ξ+η=(x1+y1) α1+(x2+y2) α2+…+(xn+yn) αn. 于是σ(ξ+η) = (x1+y1) β1+(x2+y2) β2+…+(xn+yn) βn =(x1β1+ x2β2+…+ xnβn)+(y1β1+ y2β2+…+ ynβn) = σ(ξ)+ σ(η), σ(kξ)=k x1β1+k x2β2+…+k xnβn=kσ(ξ).　　 所以，σ是V的满足定理所要求的条件和的线性 变换． 如果τ∈L(V),且τ(αi)= βi, i=1,2, …,n, ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn∈V, 则τ(ξ)=x1τ(α1)+ x2τ(α2)+ …+ xnτ(αn) = x1β1+ x2β2+…+ xnβn=σ(ξ). 所以，σ＝τ． 定义1　设{α1，α2，…，αn}是数域F上 的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)． 基向量的象可由基线性表示： 2. 线性变换矩阵的定义 我们把（1）写成矩阵等式的形式 (σ(α1), σ(α2), …, σ(αn)) =(α1, α2, …, αn) A (2) 其中　 矩阵A称为线性变换σ在基 {α1，α2，…，αn}下的矩阵． 例1　求F3[x]的线性变换σ： σ(f(x))=2 f(x)- f′(x)在基{1,x,x2,x3}下的矩阵． 解　因为 σ(1) = 2 = 2 + 0x + 0x2 + 0x3, σ(x) = 2 x-1 = -1 + 2 x + 0 x2 + 0 x3 σ(x2) = 2 x2 -2 x=0 -2 x + 2 x2 + 0 x3 σ(x3) = 2 x3 -3 x2 = 0 + 0 x -3 x2 + 2 x3, 所以σ在基{ 1 , x , x2 , x3 }下的矩阵是 3. 几个例子 采用矩阵形式的写法为 (σ(1), σ(x), σ(x2), σ(x3))=(1, x, x2, x3)A 例2　求M2(F)的线性变换σ： σ(X) = 解　因为 σ(E11)=a E11+0 E12+c E21+0 E22, σ(E12)=0 E11+a E12+0 E21+c E22, σ(E21)=b E11+0 E12+d E21+0 E22, σ(E22)=0 E11+b E12+0 E21+d E22, 在基｛E11, E12, E21, E22｝下的矩阵． 故σ在基｛E11, E12, E21, E22｝下的矩阵是 例3　设σ是F3的一个线性变换， ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0）， ε3＝（0，0，1）， σ(ε1)＝（2，-1，3），σ(ε2)＝（-1，0，4）， σ(ε3)＝（0，-5，5）． 求σ在标准基｛ε1，ε2，ε3｝下的矩阵． 解　由于 σ(ε1) = 2ε1- ε2 + 3ε3, σ(ε2) = -ε1+0ε2 + 4ε3, σ(ε3) = 0ε1-5ε2 + 5ε3, 有　（σ(ε1)，σ(ε2)，σ(ε3)） ＝（ε1，ε2，ε3） 即σ在基{ε1，ε2，ε3 }下的矩阵是 一般地，Fn的一个线性变换σ在标准基 {ε1，ε2，…，εn}下的矩阵 A 就是把 σ(εi)的分量作列排成的 n 阶方阵. 例4　单位变换ι在任