一 线性变换与二阶矩阵.ppt

* 一般地,在线性变换下,是否仍然由平面上的直线变成直线,三角形变成三角形呢? 教学目标 了解矩阵的概念 掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵 知识与能力 过程与方法 情感态度和价值观 用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换 体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系 1.二阶矩阵的概念 2.线性变换及其对应的二阶矩阵 教学重难点 重点 线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系 难点 旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换 （一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵 1.旋转变换 探究 将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度α.设平面内点P(x,y)经过旋转后变成点 那么如何用P的坐标(x,y)表示 的坐标 ? 得到： x’=－x, y’=－y. ① ①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式 P’是P在这个旋转变换的像. O 180° P P′ y x 如图,在直角坐标系xoy内,点P(x,y)绕原点O按逆时针方向旋转180°,变成点 例1 在直角坐标系xoy内,将每个点绕原点O按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换. 求点A（1，0）在这个旋转变换下的像A′; 写出这个旋转变化的表达式. A(1,0) O 30° A′ y x 图1 图2 O y x (x,y) P α 30° (2) 如图2,分别连接OP,OP’,设OP = OP′=r, 即: ② 即得到正方形数表: 由两角和的三角函数公式得: 其中系数a,b,c,d均为常数，则称③的几何变换为线性变换. ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式. ③ 在平面直角坐标系xOy中,很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式 定义 由4个数a,b,c,d排成的正方形 数表 称为二阶矩阵 数a,b,c,d称为矩阵的元素. 零矩阵: 记为: 单位矩阵: 记为: 2.反射变换 平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点P’的线性变换叫做关于直线l的反射. 例:在直角坐标系xOy内,任意点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P’(x’,y’).则相应 的坐标变换公式是: x’=y, y’=x. 对应的二阶矩阵是 3.伸缩变换 在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2 ,其中k1 ,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换. 定义 伸缩变换的坐标变换公式为: x’=k1x, y’=k2y. 对应的二阶矩阵: 4.投影变换 设l是一条给定的直线.对平面内任意一点P作直线l的垂线,垂足为P’,称点P’为点P在直线l上的投影. l α P’ P 平面上每一点P变成它在直线l上的投影P’,这个变换称为关与直线l的投影变换. 定义 在直角坐标系xOy内,任意点P关于x轴的投影变换的坐标变换公式为: x’=x, y’=0. 对应的二阶矩阵: 5.切变变换 如图,在直角坐标系xOy内,将每一点P(x,y)沿与x轴平行的方向平移ky各单位变成P’,其中k为常数,称这类变换为平行于x轴的切变变换. O y x P(x,y) P’(x+ky,y) 定义 平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为: x’=x+ky, y’=y. 对应的二阶矩阵: 抢答 平行于y轴的切变变换的坐标公式? x’=x, y’=kx+y. 对应的二阶矩阵: （二）变换、矩阵的相等 x’=x, y’=－x. 旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 即: 对应的二阶矩阵: 即: x’=x, y’=－x. 旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 即: 即: 对应的二阶矩阵: 观察 1.旋转变换的坐标变换公式 2.对应的二阶矩阵 1.旋转角度 设σ,ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换.若对平面内任意点P,都有σ（P）= ρ(P),则这两个线性变换相等,记为σ=ρ. 定义 *