1.二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换.doc

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ① ( (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为 ②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 2 3 m 3 －2 4 ③ 概念一： 象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。 ③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行） ④列矩阵：（仅有一列） ⑤向量＝（x,y））或列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。 练习1： 1.已知,，若A=B，试求 2.设，，若A=B，求x,y,m,n的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。 ②二阶单位矩阵：，记为E2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为，即＝＝ 练习2： 1.（1）＝ （2） ＝ 2.=，求 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 问题1:P（x,y）’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。其结果为，也可以表示为，即＝＝怎么算出来的？ 问题2. P（x,y）’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果又如何？ 2.反射变换 定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射。 研究：P（x,y）’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。 3.伸缩变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，（、均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。 试分别研究以下问题： ①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵. ②. 将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵. 4.投影变换 定义：将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换。 研究：P（x,y））个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）个单位，称为平行于y轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P10 1.2.3.4 四、简单应用 1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。 练习：P13 1.2.3.4.5 【第一讲.作业】 1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是 3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7. 设，，且A=B.则x＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为 9