2.6内积和正交矩阵.ppt
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向量空间内积与正交矩阵.ppt
2.5向量空间内积与正交矩阵一、向量空间首先，我们记全体实n维列向量之集合为则称V是一个向量空间。对任意的α,β∈V,有α+β∈V;对任意的α∈V和k∈R,有kα∈W.定义2.15：设V是非空子集，且对向量的加法与乘法封闭，即：L=[(0,a2,…,an-1,an)|ai∈R]例1：验证下列集合是否构成Rn的一个子空间:定义2.16：向量空间V中有向量?1,?2,…,?n.若(1)?1,?2,…,?n线性无关;中任意一向量都可由?1,?2,…,?n线性表示,则称向量组?1,?2,…,?n为V的一个基.称n为V的维数,简记n=dimV.1基---极大无关组维数---向量组的秩2注1：向量空间的任
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第四章 内积和正交矩阵.ppt
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向量的内积、长度及正交性.ppt
定理4A为n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量组是正交单位向量组.设，按列分块为证说明Rn的规范正交基是“(含n个n维向量的)正交单位向量组”.因此，定理4亦可表述为A为n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量组是Rn的一组规范正交基”.因此，的充要条件是：证毕第一节向量的内积、长度及正交性相似矩阵及二次型一、向量的内积及其性质二、正交向量组、规范正交基三、正交矩阵、正交变换四、小结思考题一、向量的内积1.向量的内积规定?和?的内积为定义1设两个n维向量，n维向量的内积是几何向量内积(也称为点积、点乘、数量积、标量积)的推广.(即，对应分量的乘积之和)说明则，内积可用矩阵记号表示为(1)当?和?都
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向量的内积与正交.ppt
运行时,点击照片可显示牛顿,莱布尼兹的简介,并自动返回.不点击则不显示.*主讲教师:张伟线性代数*第四章一、向量的内积与正交四、实对称矩阵的对角化相似矩阵与二次型三、相似矩阵二、方阵的特征值与特征向量五、二次型及其矩阵表示六、化二次型为标准形*一、向量的内积二、正交向量组三、正交矩阵第一节向量的内积与正交第四章一、向量的内积*设称为向量与的内积.定义了内积的向量空间叫做欧氏空间。，为行向量，简记，为列向量，简记定义1都是n维向量，*设时等式成立当且仅当K为实数则有下面证明30。性质定义2*设称为的长度。当时，称为单位向量。当时，称与正交。显然，若那么与任何向量都正交。定义3的规范化(单位化)向
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5-1向量内积与正交向量组1.ppt
第一节 向量的内积 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 思考题 思考题解答 * * 第五章 相似矩阵及二次型 ——四川理工学院理学院工程数学中心 定义5.1 内积 说明 1. 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2. 内积是向量的一种运算，如果 都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： 内积的运算性质 定义5.2
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向量的内积与正交向量组.pptx
第十一次课教学内容§5.1 向量的内积与正交向量组教学目标及基本要求了解内积、正交的概念 了解正交向量组的性质 掌握施密特(Schmidt)正交化方法 了解正交矩阵的概念及性质 重 点施密特(Schmidt)正交化方法难 点施密特(Schmidt)正交化方法§5.1 向量的内积与正交向量组一、向量的内积1. def：设列向量内积“对乘加”：2.性质交换律：结合律：分配律：单位化：3.模(范数)：非负性：齐次性：三角不等式：4.单位向量：5.夹角：零向量与任意向量都正交6.正交：二、正交向量组与施密特正交化方法(P132定义5.1.4)(P133定义5.1.5)正交向量组标准正交向量组(P1
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4-1向量的内积和正交-4168.ppt
线性代数
第十六讲
王升瑞
第四章
一、向量的内积与正交
四、实对称矩阵的对角化
相似矩阵与二次型
三、相似矩阵
二、方阵的特征值与特征向量
五、二次型及其矩阵表示
六、化二次型为标准形
一、向量的内积
二、正交向量组
三、正交矩阵
第一节
向量的内积与正交
第四章
向量夹角
复习：向量的数量积(内积）
设
分别为直角坐标轴上的单位向量，则
向量长度
一、向量的内积
设
称
为向量
注：向量的内积是一种运算。
定义1
设
都是 n 维向量，
k为实数则有
下面证明 30。
性质
设
称
的长度。
称为单位向量。
定义2
显然，若
那么
与任何向量都正交。
定义3
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2.4 内积空间中的正交性
Inner Product Spaces and Orthogonality
在三维空间中，如右图1所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？
图2.4.1 三维空间向量的分解，向量，其中
2.4.1 正交分解
定义2.4.1 正交
设是内积空间，，如果，则称与正交或垂直，记为．如果的子集中的每一个向量都与子集中的每一个向量正交，则称与
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在三维空间中，如右图1所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？
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5—1向量的内积、长度及正交性.ppt
第一节 向量的内积、长度及正交性;返回;返回;返回;上页;返回;返回;根据定义，如果非零向量? , ? 的内积 ，则夹角 ? = 90o ；反之亦然.;返回;返回;返回;返回;返回;返回;设 是向量空间 V 的一组规范正交基，;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;三、正交矩阵、正交变换;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;返回;再将 单位化，;返回;返回;返回
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4—1向量的内积与正交.ppt
主讲教师:
张 伟;第四章;一、向量的内积;设;设;设;对于;二、正交向量组;定理1 ;但线性无关;例3;都是的标准正交基。 ;求;定理2 ;正交化，取;即是一组标准正交基。;在本例的计算过程中，;三、正交矩阵;A 为正交阵;则 B 是正交矩阵。;性质3;例6
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北京工业大学线性代数第4章第4节子空间第5节向量的内积第6节正交矩阵1.ppt
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方阵的相似化简与内积空间
2.3内积空间
一、欧氏空间的定义
二、标准正交基及斯密斯正交化
三、正交变换
四、酉空间
一、欧氏空间的线定性义变换的定义
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二、标准正交基及斯密斯正交化
定理4正交向量组是线性无关的。
三、正交变换
定理6欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是它在标准正交基的矩阵是
正交矩阵。
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正交矩阵与正交化方法.ppt
补充知识
是一个数
只证
思考题PART1
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2.6.1 矩阵秩的定义 §2.6 矩阵的秩.ppt
2.6.1 矩阵秩的定义 §2.6 矩阵的秩 定义1 在m×n矩阵A中,任取k行k列 （ 1≤ k≤min{m,n}）,位于这些行和列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， 称为矩阵A的一个k阶子式。 定义2 如果矩阵A中有一个r 阶子式Dr≠0，且所有 r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么Dr 称为矩阵 A 的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩,记作R(A)=r 。 对于m×n 矩阵A, 显然有