24内积空间中的正交性.doc

2.4 内积空间中的正交性 Inner Product Spaces and Orthogonality 在三维空间中，如右图1所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？ 图2.4.1 三维空间向量的分解，向量，其中 2.4.1 正交分解 定义2.4.1 正交 设是内积空间，，如果，则称与正交或垂直，记为．如果的子集中的每一个向量都与子集中的每一个向量正交，则称与正交，记为．特别记，即向量与中的每一个向量垂直． 定理2.4.1 勾股定理 设是内积空间，，若，则． 证明 ．□ 注1: 在内积空间中，是否存在 ？显然由 ， 可知在实内积空间中成立． 定义2.4.2 正交补Orthogonal complement 设是内积空间，，记，则称为子集的正交补．显然有，以及． 性质2.4.1 设是内积空间，，则是的闭线性子空间． 证明 (1) 是的线性子空间 ，，，有 ， 于是，因此是的线性子空间． (2) 是的闭子空间 设，且依范数，于是，有 ． 因此，即是的闭子空间．□ 注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间中(完备的内积空间)，任意子集的正交补是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补也是Hilbert空间． 定义2.4.3 正交分解 设是内积空间的子空间，，如果存在，使得，则称为在上的正交投影或正交分解． 引理2.4.1 设是内积空间，是的线性子空间，，若存在，使得，那么． 证明 令，若不垂直于，则存在，使得，显然． 因为，有 特别取，则可得 ， 即知．又由于，所以 ． 产生矛盾，故．□ 定理2.4.1 投影定理 设是Hilbert空间的闭线性子空间，则中的元素在中存在唯一的正交投影，即，，其中．(或表示为) 证明 (1) 寻找进行分解． ，设，则存在，使得 ， 首先证是中的基本列，因为有 因为及是子空间，知，所以，于是 故是中的基本列，又因是闭子空间，即为完备空间，所以是中的收敛列．不妨设，则有 ． 令，因此有，其中，且根据前面引理知． (2) 分解的唯一性．假设还存在，使得，那么有 ，， 于是只需的分解具有唯一性．若，，，则 可见及，即的分解具有唯一性．□ 例2.4.1 证明在内积空间上，的充要条件是有． 证明 必要性 若，则有，有，于是由勾股定理得：． 充分性若有，且时， 特别取，于是， 故，即．□ 2.4.2 标准正交系 在三维空间中，任何一向量可写成，其中 ，，，，，， 显然当时，，而．可见，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢？ 定义2.4.4 标准正交系 设是内积空间，是中的点列，若满足 ． 则称为中的标准正交系． 例2.4.2 在维内积空间中，向量组 ，，，， 是的一个标准正交系．□ 例2.4.3 在中，向量()，则是的一个标准正交系．□ 例2.4.4 在中，对于，定义内积为 则下列三组向量均是的标准正交系， ； ； ．□ 注3: 如果线性空间上中的点列的任意有限个元素线性独立，则称为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设是标准正交系的一个有限子集，如果存在使得 ， 那么对于任意的() . 反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系． 定理2.4.2 设为内积空间的标准正交系，，记 ， 那么，是在上的正交投影．即，，． 证明 显然，，由于存在，使得于是 ．□ 注4: 上述定理中的为维闭子空间，作为内积空间与同构，也是完备的子空间，根据投影定理，在上的正交投影唯一存在． 定理2.4.3 设为内积空间中任意的一组线性独立系，则可将用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系，且对任何自然数，有 ，， 同时． 证明 令，则有．记，根据上述定理可将在上做正交分解，即，，得． 令，则有，，且有 ，． 记，将在上做正交分解，则及，得，可令，从而治是的线性组合，是的线性组合． 以此类推，可令，且有正交，进而令，显然，于是 ． 同时可得是的线性组合．□  第二章 线性赋范空间与内积空间 线性与非线性泛函◇ - 68 - - 63 -