向量空间内积与正交矩阵.ppt

2.5向量空间内积与正交矩阵一、向量空间首先，我们记全体实n维列向量之集合为则称V是一个向量空间。对任意的α,β∈V,有α+β∈V;对任意的α∈V和k∈R,有kα∈W.定义2.15：设V是非空子集，且对向量的加法与乘法封闭，即：L=[(0,a2,…,an-1,an)|ai∈R]例1：验证下列集合是否构成Rn的一个子空间:定义2.16：向量空间V中有向量?1,?2,…,?n.若(1)?1,?2,…,?n线性无关;中任意一向量都可由?1,?2,…,?n线性表示,则称向量组?1,?2,…,?n为V的一个基.称n为V的维数,简记n=dimV.1基---极大无关组维数---向量组的秩2注1：向量空间的任两个基等价。3注2：与基等价的线性无关向量组都可作为基。4注3：r维向量空间中的任何r个线性无关的向量都可作为基。5例2已知向量组定义:设?1,?2,…,?n是n维线性空间V的一个基,则对V中任意一向量?，有且仅有一组数x1,x2,…,xn,使得?的坐标(x1,x2,…,xn)T由基?1,?2,…,?n惟一确定.称有序数(x1,x2,…,xn)T为?在基?1,?2,…,?n下的坐标.证明?1,?2,?3为R3的基,并求向量?在该基下的坐标.证明?1,?2,?3为R3的基,并求向量?在该基下的坐标.01只需证明?1,?2,?3线性无关,则?1,?2,?3就是R3的基.02例2已知向量组再求向量?在基?1,?2,?3下的坐标设则有思考：在基下的坐标是什么？自然基思考：若集合若r(A)=r,则Ax=0的基础解系由n-r个线性无关的解向量?1,?2,…,?n-r组成,易知S为向量空间,则?1,?2,…,?n-r就是Ax=0的解空间S的基.dimS=n-r.S还为向量空间吗？例3：考虑集合