2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数1.1n次方根与分数指数幂学案新人教A版必修第一册.docx

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n次方根与分数指数幂

课标解读

课标要求

素养要求

1.理解n次方根、根式的概念.

2.能正确运用根式的性质化简或求值,能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.

数学运算——能用根式的性质化简或求值，能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一n次方根与根式

一般地，假如xn=a，那么x叫做a的①n次方根，其中n1，且

当n是奇数时，正数的n次方根是一个②正数，负数的n次方根是一个③负数，这时，a的n次方根用符号na表示.当n是偶数时，正数的n次方根有④两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号-na表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±na(a0).式子⑤n

要点二根式的性质

负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0，记作n0=⑦

当n为奇数时，na

当n为偶数时，n

要点三分数指数幂

正数的正分数指数幕的意义是amn=⑧nam(a0,m,n∈N*,n1)

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，a-

0的正分数指数幂等于⑨0，0的负分数指数幂⑩没有意义.

要点四有理数指数幂的运算性质

对随意有理数r，s，均有下面的运算性质：

（1）ar

（2）(a

（3）(ab)

自主思索

1.若一个正数的四次方根为a和1-2b，求（2a-4b）

答案：提示易知a与1-2b互为相反数，可得（2a-4b）

2.若式子42x+1无意义，求实数x

答案：提示若式子无意义，则2x+10，解得x-12，即x的取值范围是

3.用分数指数，表示3a

答案：提示a56b

4.已知实数a，a，b，且a0，b0，推断(ab)

答案：提示?(

名师点睛

1.nan与(

（1）nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受a的正负限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方,再开方(都是n次)，结果不肯定

（2）(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶确定．其算法是对a先开方，后乘方(都是

2.对分数指数幂的理解

（1）分数指数幂amn不能理解为mn

（2）把根式nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对

3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(-5)23

互动探究·关键实力

探究点一根式的化简与求值

精讲精练

例化简下列各式：

（1）5

（2）6

（3）x2

答案：（1）原式=(-2)+(-2)=-4.

（2）原式=|-2|+2=2+2=4.

（3）原式=(x-1)2

∴-4＜x-1＜2,0＜x+3＜6.

当-4＜x-1＜0，

即-3＜x＜1时，

|x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2;

当0≤x-1＜2，

即1≤x＜3时，|x-1|-|x+3|=x-1-(x+3)=-4.∴

={

解题感悟

根式化简的思想和留意点

1.根式化简的思想：将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式（完全平方公式、立方和（差）公式）,将所求代数式恰当地变形,达到化繁为简的目的.

2.化简根式时需留意：在根式计算中,含有na（n为正偶数）的形式中要求a≥0，而nan

迁移应用

1.下列各式正确的是()

A.(-5)2

C.72=7

答案：C

2.若(2a-1)2=

答案：（-∞,

解析：(2a-1)2=|2a-1|，3(1-2a)3=1-2a

探究点二根式与分数指数幂的互化

精讲精练

例用根式或分数指数幂表示下列各式：

（1）a1

（2）a3

（3）3a

（4）1

（5）aa

答案：（1）a1

（2）a3

（3）3a

（4）1a

（5）aa

解题感悟

根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数化为?化为分数指数幂的分母,被开方数（式）的指数化为?

（2）在详细计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用实数指数幂的运算性质解题.

迁移应用

1.用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）：

（1）13

（2）a3

（3）3b

答案：（1）13

（2）a3

（3）3b

探究点三有理数指数幂的运算

精讲精练

例计算或化简下列各式：

（1）(3

（2）a3

答案：（1）原式=(2

（2）原式=[

解题感悟

指数幂运算的常用技巧

（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.

（3）底数是小数的，要先化成分数；底数