2024_2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数3.1对数的概念学案新人教A版必修第一册.docx
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对数
最新课程标准
1.理解对数的概念．
2．理解对数运算性质．
3．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
学科核心素养
1.理解对数的概念．(数学抽象)
2．驾驭指数与对数的互化、简洁求值．(数学运算)
3．会推导对数运算性质并进行化简求值．(数学运算)
4．了解换底公式及其推导并进行化简求值．(数学运算)
4．3.1对数的概念
教材要点
要点一对数的概念
1．定义：假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数________叫做以________为底________的对数，记作x＝logaN.
2．相关概念
(1)底数与真数
其中，________叫做对数的底数，________叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________；以无理数e＝2.71828…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为________．
状元随笔logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不行分开书写．
要点二对数与指数间的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
状元随笔
要点三对数的性质
性质1
________没有对数
性质2
1的对数是________，即loga1＝__(a＞0，且a≠1)
性质3
底数的对数是______，即logaa＝______(a＞0，且a≠1)
要点四对数恒等式
alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0).
基础自测
1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．()
(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.()
(3)因为3x＝81，所以log813＝x.()
(4)log32＝log23.()
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()
A．log2M＝aB．logaM＝2
C．loga2＝MD．log2a＝M
3．若log8x＝-23，则
A．14B．4C．2D．
4．3log32＋log21＝________．
题型1对数的概念
例1(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为()
A．(－∞，3]B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)D．(3，4)
(2)将下列指数式、对数式互化．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log5
方法归纳
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1(1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是()
A．e0＝1与ln1＝0
B．log39＝2与91
C．8-13＝12
D．log77＝1与71＝7
(2)对数式log(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．
题型2对数的计算
例2求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝32
方法归纳
(1)logaN＝x与ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．
(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
跟踪训练2求下列各式中x的值：
(1)log2x＝12；(2)log216＝x；(3)logx
题型3对数的性质及对数恒等式的应用
例3(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；
(2)计算：51+log53＋10
方法归纳
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．利用对数恒等式求解的方法
首先利用指数运算性质变形，变形为alogab的形式，再利用对数恒等式计算求值．
跟踪训练3(1)2－
A．22B．
C．12＋2D．2
(2)计算：log3[log3(log28)]＝________．
易错辨析忽视对数的底数致误
例4使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()
A．(12，1)∪(1，＋∞)B．(0，1
C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(-∞,-12
解析：使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满意a
解得0＜a＜12
答案：B
易错警示
易错缘由
纠错心得