2024_2025年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数3.2对数的运算学案新人教A版必修第一册.docx

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对数的运算

[课程目标]1.驾驭积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；2.驾驭换底公式及其推论；3.能够娴熟运用对数的运算性质进行化简求值．

学问点一对数的运算性质

假如a0，且a≠1，M0，N0，那么：

(1)loga(MN)＝__logaM＋logaN__；

(2)logaeq\f(M,N)＝__logaM－logaN__；

(3)logaMn＝__nlogaM__(n∈R).

[研读]留意公式的运用条件，真数为正数，底数相同，且不为1.

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)

(2)log624－log64＝1.(√)

(3)log58＋log5eq\f(25,8)＝2.(√)

(4)logeq\r(3)eq\f(1,3)＝－eq\f(1,2).(×)

【解析】(1)当a0且a≠1，M0，N0时，loga(MN)＝logaM＋logaN才成立．

(2)log624－log64＝log6eq\f(24,4)＝log66＝1.

(3)log58＋log5eq\f(25,8)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8×\f(25,8)))＝log525＝2.

(4)logeq\r(3)eq\f(1,3)＝logeq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))eq\s\up12(2)＝logeq\r(3)(eq\r(3))－2＝－2.

学问点二对数换底公式

1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1；b0；c0，且c≠1).

2．对数换底公式的重要推论：

(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N0，且N≠1；a0，且a≠1).

(2)loganbm＝eq\f(m,n)logab(a0，且a≠1，b0).

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a0，b0，c0，d0，且a≠1，b≠1，c≠1).

[研读]有了换底公式，底数不相同的对数式也能进行计算了．

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若loga2＝m，则log4a＝eq\f(1,2m).(√)

(2)若lg6＝a，lg8＝b，则log68＝ab.(×)

(3)eq\f(log23,log24)＝log43.(√)

(4)logab·logbc＝logac(a0，b0，c0，且a≠1，b≠1).(√)

【解析】(1)log4a＝eq\f(logaa,loga4)＝eq\f(1,2loga2)＝eq\f(1,2m).

(2)log68＝eq\f(lg8,lg6)＝eq\f(b,a).

(4)logab·logbc＝logab·eq\f(logac,logab)＝logac(a0，b0，c0，且a≠1，b≠1).

eq\o(\s\up7(),\s\do5(（见学生用书P56）))

eq\o(\s\up7(),\s\do5(对数运算性质的应用))

eq\a\vs4\al(例1)计算：log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242＝__－eq\f(1,2)__．

【解析】原式＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),\r(48))×12))－log2eq\r(42)

＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),4\r(3))×12×\f(1,\r(7)×\r(6))))＝log22－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).

活学活用

计算下列各式的值．

(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；

(2)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8.

解：(1)原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)

＝lg(eq\r(2)×eq\r(5))＝lgeq\r(10)