2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1对数函数的概念学案新人教A版必修第一册.docx
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对数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过详细实例，理解对数函数的概念.
2.会求简洁的对数型函数的定义域.
数学抽象——能通过详细实例领悟对数函数的概念.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
一般地，函数y=logax（a0，且a≠1）叫做对数函数，其中①x
自主思索
1.函数y=lnx和y=lgx的底数分别是什么？
答案：提示底数分别为e和10.
名师点睛
在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.
互动探究·关键实力
探究点一对数函数的概念
精讲精练
例（2024北京临川学校高一期中）若函数y=(a2-4a+4)?
答案：3
解析：由题意得a2
解题感悟
若一个函数是对数函数，则其必需是y=logax（a0，且a≠1）的形式，即
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量x.
迁移应用
1.已知下列函数：
①y=log
②y=2log
③y=lnx(x0)；
④y=log(a2+a)
其中肯定为对数函数的是（填序号）．
答案：③
解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，lnx的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2+a=(a+12)
2.推断下列函数是不是对数函数.
（1）y=log6x；（2）y=
答案：（1）符合对数函数的结构形式，是对数函数.
（2）自变量在底数的位置上，故不是对数函数.
（3）不符合对数函数的结构形式，故不是对数函数.
探究点二对数型函数的定义域
精讲精练
例函数f(x)=log
答案：(
解析：由题意得2x-10,x+10,解得x
故函数f(x)的定义域是(1
解题感悟
解决对数型函数的定义域问题时，除了要特殊留意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的学问，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.
迁移应用
1.函数f(x)=log
答案：(-∞,3)
解析：由题意得3-x0，解得x3，故函数f(x)的定义域为(-∞,3).
2.（2024浙江宁波高一期末）函数f(x)=lg(x-2)+1
答案：(2,3)∪(3,+∞)
解析：由题意得x-20,x-3≠0,解得x2且x≠3
所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
探究点三对数函数的实际应用
精讲精练
例某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过0.1%，若起先时溶液中含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减13，则至少应过滤次才能达到市场要求.（已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771
答案：8
解析：设过滤n次时达到市场要求.
由题意可得2%?(1-1
即(2
∴nlg
∴n≥1+lg2
故至少应过滤8次才能达到市场要求.
解题感悟
解决此类问题时，应依据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再依据对数的运算性质及所给的数据计算求值.
迁移应用
1.依据有关资料，围棋状态空间困难度的上限M约为3361，而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN
A.10103B.1093C.10
答案：B
解析：由题意得M≈3361，N≈1080，依据对数的运算性质有
所以MN≈10
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列函数是对数函数的是()
A.y=loga
C.y=log2
答案：D
2.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为.
答案：y=lo
3.（2024浙江台州启超中学高一期中）函数f(x)=log
答案：(-∞,1)∪(1,2)
4.已知函数f(x)=log2
答案：1
解析：∵140，∴f(
素养演练
数学运算——求对数型函数的定义域
1.函数f(x)=1
答案：(2,4)
解析：由题意得4-x0,x-20,解得2x4
所以函数f(x)的定义域为(2,4).
素养探究：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
（1）有分式时：分母不为0；
（2）有根号时：开奇次方，根号下为随意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
（3）有指数时：若指数为0，则底数肯定不能为0；
（4）有根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时，根号下大于0；
（5）当函数为对数型函数时，只需满意真数大于0.
迁移应用
1.使log2(2x-1)有意义的
答案：(
解析：由题意得2x-10，解得x12，则x的取值范围是
2.函数f(x)=1
答案：(2,5)
解析：由题意得x-20,5-x0,解得2x5，则函数f(x)