2024_2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数2.1指数函数的概念学案新人教A版必修第一册.doc

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指数函数的概念

新课程标准解读

核心素养

1.通过详细实例，了解指数函数的实际意义

数学抽象

2.理解指数函数的概念

数学建模

[问题](1)某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？

(2)假如将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？

学问点一指数函数的概念

一般地，函数y＝eq\a\vs4\al(ax)(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是eq\a\vs4\al(R)．

eq\a\vs4\al()

对指数函数概念的再理解

为什么指数函数的底数a0，且a≠1?

提示：①假如a＝0，当x0时，ax恒等于0，没有探讨的必要；当x≤0时，ax无意义．

②假如a0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．

③假如a＝1，则y＝1x是一个常量，没有探讨的价值．

为了避开上述各种状况，所以规定a0，且a≠1.

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝x2是指数函数．()

(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．()

(3)y＝2x－1是指数函数．()

答案：(1)×(2)×(3)×

2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________．

解析：设f(x)＝ax(a0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝eq\r(2)，即f(x)＝(eq\r(2))x.

答案：(eq\r(2))x

学问点二指数型函数模型

形如y＝kax(k为非零常数，a0，且a≠1)的函数为指数型函数模型．

某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减eq\f(1,3).

(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；

(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？

解：(1)过滤1次后的杂质含量为eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,100)×eq\f(2,3)；

过滤2次后的杂质含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,100)×\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)；

过滤3次后的杂质含量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,100)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)；

…

过滤n次后的杂质含量为eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)(n∈N*)．

故y与n的函数关系式为y＝eq\f(1,50)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)(n∈N*)．

(2)由(1)知当n＝7时，y＝eq\f(1,50)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(7)＝eq\f(64,54675)eq\f(1,1000)，

当n＝8时，y＝eq\f(1,50)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(8)＝eq\f(128,164025)eq\f(1,1000)，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．

指数函数的概念

[例1](1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)．

①y＝2·(eq\r(2))x；②y＝2x－1；③y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))eq\s\up12(x)