2024_2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数3.1对数的概念学案新人教A版必修第一册.doc

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对数

新课程标准解读

核心素养

1.理解对数的概念和运算性质，能进行简洁的对数运算

数学抽象、数学运算

2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简洁的化简计算

数学运算

4．3.1对数的概念

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……

[问题]依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？假如已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？

学问点一对数的概念

1．定义

一般地，假如ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

eq\a\vs4\al()

对数与指数的关系

指数式与对数式的互化(其中a0，且a≠1)：

(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；

(2)弄清对数式与指数式的互化是驾驭对数运算的关键．

1．式子logmN中，底数m的范围是什么？

提示：m0且m≠1.

2．对数式logaN是不是loga与N的乘积？

提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对数式log32与log23的意义一样．()

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()

(3)对数运算的实质是求幂指数．()

答案：(1)×(2)×(3)√

2．若a2＝M(a0，且a≠1)，则其对数式为________．

答案：logaM＝2

3．把对数式loga49＝2写成指数式为________．

答案：a2＝49

学问点二对数的基本性质

1．负数和0没有对数；

2．loga1＝eq\a\vs4\al(0)(a0，且a≠1)；

3．logaa＝eq\a\vs4\al(1)(a0，且a≠1)．

1．log3eq\f(2x－1,5)＝0，则x＝________．

答案：3

2．ln(lg10)＝________．

答案：0

指数式与对数式的互化

[例1](链接教科书第122页例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－2)＝16；

(3)logeq\s\do9(\f(1,3))27＝－3;(4)logeq\r(x)64＝－6.

[解](1)∵3－2＝eq\f(1,9)，∴log3eq\f(1,9)＝－2.

(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－2)＝16，∴logeq\s\do9(\f(1,4))16＝－2.

(3)∵logeq\s\do9(\f(1,3))27＝－3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－3)＝27.

(4)∵logeq\s\do9(eq\r(x))64＝－6，∴(eq\r(x))－6＝64.

eq\a\vs4\al()

指数式与对数式互化的方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

[跟踪训练]

将下列指数式与对数式互化：

(1)log216＝4;(2)logeq\r(3)x＝6；

(3)43＝64;(4)3－3＝eq\f(1,27).

解：(1)因为log216＝4，所以24＝16.

(2)因为logeq\s\do9(eq\r(3))x＝6，所以(eq\r(3))6＝x.

(3)因为43＝64，所以log464＝3.

(4)因为3－3＝eq\f(1,27)，所以log3eq\f(1,27)＝－3.

对数的计算

[例2](链接教科书第123页例2)求下列各式中的x的值：

(1)log64x＝－eq\f(2,3)；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x.

[解](1)x＝(64)eq\s\up6(－\f(2,3))＝(43)eq\s\up6(－\f(2,3))＝4－2＝eq\f(1,16).

(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq\s\up6(\f(1,6))＝8eq\s\up6(\f(1,6))＝(23)eq\s\up6(\f(1,6))＝2e