2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.3函数模型的应用学案新人教A版必修第一册.docx
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函数模型的应用
课标解读
课标要求
素养要求
能从不同函数的增长特点动身,总结、概括一般类型的函数模型特点,从而选择恰当的函数模型解决实际问题.
数学建模——会利用已知函数模型或建立函数模型解决实际问题.
自主学习·必备学问
名师点睛
1.常见的函数模型
(1)指数函数模型:
y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0
(2)对数函数模型:
y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0
(3)其他函数模型:如幂函数,二次函数,分段函数等.
2.解答数学应用题应过的三关:
(1)理解关:数学应用题的文字阅读量较大,须要通过阅读找出关键词句,确定已知条件是什么,要解决的问题是什么;
(2)建模关:将实际问题的文字语言转化成数学符号语言,用数学式子表达文字关系,进而建立实际问题的数学模型,将其转化成数学问题;
(3)数理关:建立实际问题的数学模型时,要运用恰当的数学方法.
互动探究·关键实力
探究点一指数函数模型的应用
精讲精练
例衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小,设刚放进去的新丸的体积为a,经过t天后其体积V与天数t的函数关系式为V=a?e-kt.已知新丸经过50天后其体积变为49
答案:由已知,得49
∴e
设经过t1天后,一个新丸的体积变为827a
∴t150=3
解题感悟
在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,
迁移应用
1.一片森林原来的面积为a,安排每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到原来面积的一半时,所用的时间是10年.为爱护生态环境,森林面积至少要保留原来面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原来的2
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
答案:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=12a,又由题意知a>0,所以
(2)设经过m年后森林的剩余面积为原来的22,则a(1-x
即(
则m10=1
故到今年为止,该森林已砍伐了5年.
(3)设从今年起先,还能砍伐n年,则n年后剩余面积为22
令22a(1-x)n≥14a,即
探究点二对数函数模型的应用
精讲精练
例(2024四川泸县第四中学高一月考)有一种候鸟每年都按肯定的路途迁徙,飞往繁殖地进行繁衍.科学家经过测量发觉,候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100-lgx
(1)若x0
(2)若x0
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5?km/min
答案:(1)将x0=2,x=8100代入函数解析式可得,v=1
(2)将x0=5,v=0代入函数解析式可得,0=1
∴x100=
故候鸟停下休息时,每分钟的耗氧量约为466个单位.
(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1,雌鸟每分钟的耗氧量为x
依题意可得{
两式相减可得1=12lo
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.
解题感悟
有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要依据实际状况求出函数解析式中的参数,或给出详细情境从中提炼出数据,代入解析式求值,然后依据值回答其实际意义.
迁移应用
1.2024年12月8日,我国的“长征”三号乙运载火箭胜利放射了嫦娥四号探测器,这标记着中国又迈出了具有历史意义的一步.火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(2
(1)求“长征”三号系列火箭的最大速度y(km/s)与燃料质量
(2)已知“长征”三号火箭的起飞质量M是479.8吨,则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8?km/s?(结果精确到0.1吨,e
答案:(1)由题意得4=k{ln[m+(e
所以y=8[ln(m+x)-ln(2m)]+4?ln
(2)由已知得M=m+x=479.8,则m=479.8-x,又y=8,
所以8=8?ln
解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8?km/s
探究点三拟合数据构建函数模型解决实际问题
精讲精练
例某种蔬菜从2024年1月1日起起先上市,通过市场调查,得到该蔬菜种植成本Q(单位:元/10?kg)与上市时间t
时间t
5
11
25
种植成本Q
15
10.8
15
(1)依据上表数据,从下列函数:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a?bt,Q=a?logbt
(