《利用导数解决实际问题》课件.pptx

6.3利用导数解决实际问题

激趣诱思知识点拨科学家在健康志愿者和严重直立性低血压患者两组实验中研究了米多君的药代动力学.健康志愿者口服米多君迅速并几乎完全吸收.然后,药品在各种组织中(包括消化道、肝脏、循环系统)经酶解广泛代谢成其药理活性代谢物脱甘氨酸米多君.右图是随时间变化,血液中米多君浓度变化曲线,问何时药的浓度达峰值?

激趣诱思知识点拨一、最优化问题生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤1.分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.2.求函数y=f(x)的导数f(x).解方程f(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.4.还原到原实际问题中作答.

激趣诱思知识点拨名师点析用导数解决实际问题的基本过程解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:

激趣诱思知识点拨(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.值得注意的是,在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以确定这就是最大(小)值.这也适用于开区间或无穷区间.

激趣诱思知识点拨微练习有一个边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖纸盒,要使纸盒的容积最大,剪去的小正方形的边长应为多少?∴当x=1时,容积V取最大值为18.即剪去的小正方形的边长为1时,纸盒的容积最大.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测利润最大、效率最高问题例1某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路分析(1)根据x=5时,y=11求a的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测从而,f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6).于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)+0-f(x)↗极大值42↘

探究一探究二探究三素养形成当堂检测由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.反思感悟利润最大问题的求解方法利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1x≤12)满足:当1x≤4时,y=a(x-3)2+(a,b为常数);当4x≤12时,y=-100.已知当销售价格为2元/千克时,每日可销售出该特产800千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大.(≈2.65)

探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测∴x=5.3时,有最大值1840.∵18001840,∴当x=5.3时,f(x)有最大值1840,即当销售价格为5.3元时,店铺所获利润最大.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测费用最低(用料最省)问题例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20