人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.3 利用导数解决实际问题.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;解决最优化问题的基本思路

1.现有一根长为18m的钢条,想将其围成一个长与宽之比为2∶1的长方体形状的框架,问如何设计才能使该长方体的体积最大?

(1)若设长方体的宽为xm,则该长方体的长、高分别为多少?;(3)你能用导数求出V(x)的最大值吗?最大值是多少?;2.解决最优化问题的基本思路是什么?;3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()

A.13万件

B.11万件

C.9万件

D.7万件

解析:y=-x2+81,令y=0,解得x=9或x=-9(舍去).

当0x9时,y0;当x9时,y0.

故当x=9时,y取得最大值.

答案:C;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)若在开区间(a,b)内连续的函数f(x)只在某一点处存在极大值(或极小值),则函数f(x)在该点处取得最大值(或最小值).(√)

(2)某商品每件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出

(200-x)件,则当每件商品的定价为115元时,利润最大.(√);合作探究释疑解惑;;解决容积的最值问题,要正确引入变量,将容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.;【变式训练1】用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5m,那么高为多少时,容器的容积最大?请求出它的最大容积.;令y=0,则15x2-11x-4=0,;;若把题中的条件改为“圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S”,则要使它的容积最大,它的高与底面半径的比为.?;选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.先正确列出函数的解析式,再利用导数求最值,其中正确列出函数的解析式是解题的关键.;【变式训练2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:.若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求k的值及f(x)的解析式;

(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?最小值是多少.;;解:(1)分公司一年的利润L与售价x的函数解析式为L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].

(2)由(1)知,L=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).;利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般先根据“利润=收入-成本”得到函数解析式,再利用导数求最大值.;【变式训练3】某商品每件的成本为9元,当单价为30元时,每星期能卖出432件.若降低价格,则销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时,每星期能多卖出24件.

(1)求一个星期的商品销售利润f(x)(单位:元)与商品单价的降低额x的函数解析式;

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?;解:(1)设每星期多卖出的商品件数为kx2,则当x=2时,k·22=24,k=6.

故f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].

(2)由(1)知,f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).

令f(x)0,得2x12,

令f(x)0,得0≤x2或12x≤21.

又f(0)=9072,f(12)=11664,

故当x=12时,f(x)取得最大值.

故当定价为30-12=18(元)时,才能使一个星期的商品销售利润最大.;【易错辨析】;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:该实际问题的定义域为(a,b],而由题意不能确定x=2a是否在区间(a,b]内,故需要分类讨论,错解中未讨论2a与b的关系,导致解答错误.;综上可知,若b≤2a,则当船在静水中的航行速度为bkm/h时,其全程的燃料费用最省;

若b2a,则当船在静水中的航行速度为2akm/h时,其全程的燃料费用最省.;【变式训练】甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平