人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 习题课——导数的综合应用.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;函数与导数

1.(1)函数的单调性

函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件是f(x)≥0(或f(x)≤0),且f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.;(2)函数的极值与导数;(3)函数的最值

①在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

②如果函数f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,且在(a,b)内可导,那么函数f(x)的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点.;2.(1)已知函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是.?;解析:(1)f(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,即4a2+12a≤0,解得-3≤a≤0.故a的取值范围是[-3,0].

(2)f(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),由f(x)0,得x-1或x3;由f(x)0,得-1x3.故函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)内单调递增,在区间(-1,3)内单调递减.;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)已知函数f(x)的导函数为f(x),若f(x0)=0,则x0是f(x)的极值点.(×)

(2)函数f(x)=lnx+x在定义域内无极值.(√)

(3)若函数f(x)的导函数f(x)≥0在区间(a,b)内恒成立,则f(x)在区间(a,b)内单调递增.(×);合作探究释疑解惑;;利用导数法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是先构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数h(x)的单调性或最值证明h(x)0.若易求出f(x)的最小值与g(x)的最大值,且易判断其大小,则可由f(x)ming(x)max推出f(x)g(x)恒成立.;(1)解:f(x)=x(x+2)(ex-1-1),

由f(x)=0得x1=-2,x2=0,x3=1.

当-2x0或x1时,f(x)0;

当x-2或0x1时,f(x)0,

所以函数f(x)在区间(-2,0)和(1,+∞)内是单调递增的,在区间(-∞,-2)和(0,1)内是单调递减的.;(2)证明:f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x).

因为对任意实数x,总有x2≥0,

所以设h(x)=ex-1-x.

h(x)=ex-1-1,由h(x)=0得x=1,则当x1时,h(x)0,即函数h(x)在区间(-∞,1)内单调递减,因此当x1时,h(x)h(1)=0.

当x1时,h(x)0,即函数h(x)在区间(1,+∞)内单调递增,因此当x1时,h(x)h(1)=0.

当x=1时,h(1)=0.

所以对任意实数x都有h(x)≥0,即f(x)-g(x)≥0,故对任意实数x,恒有f(x)≥g(x).;;1.f(x)g(x)对一切x∈I恒成立?(f(x)-g(x))min0(x∈I).

2.f(x)g(x)对x∈I能成立?(f(x)-g(x))max0(x∈I).

3.对?x1,x2∈D使得f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min.

4.对?x1∈D1,?x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min.;【变式训练2】已知函数f(x)=lnx-ax2-a+2(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若存在x0∈(0,1],使得对任意的a∈(-2,0],mea+f(x0)0恒成立,求实数m的取值范围.;(2)由(1)知,当a∈(-2,0]时,函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,故当x∈(0,1]时,函数f(x)的最大值为f(1)=2-2a.

因为存在x0∈(0,1],对任意的a∈(-2,0],mea+f(x0)0恒成立,所以对任意的a∈(-2,0],mea+f(1)0恒成立,即对任意的a∈(-2,0],mea+2-2a0恒成立.;;(2)解:设函数h(x)=1-ax2e-x.

f(x)在(0,+∞)内只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)内只有一个零点.

(i)当a≤0时,h(x)0,h(x)没有零点;

(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.

当x∈(0,2)时,h(x)0;

当x∈(2,+∞)时,h(x)0.

所以h(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增.;利用导数研究方程根的个数问题的一般思路:

(1)将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为两个函数图象交点的个数问题.

(2)利用导数研究函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质.

(3)作出函数的大致图象,结合图象求解.;【变式训练3】已知a0,函数f(x)=