《利用导数解决实际问题》教学设计.doc

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《利用导数解决实际问题》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

问题探究

情境与问题

如图所示,海中有一座油井,其离岸的距离,岸是笔直的,岸上有一座炼油厂,且.现要用输油管将油井与炼油厂连接起来,且输油管既可以铺设在水下,也可以铺设在陆地上,还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元,陆地的铺设成本为每千米30万元.那么,铺设输油管的最少花费是多少?

尝试与发现

分别计算下列两种铺法的铺设成本,然后尝试给出最优的铺设方案.

（1）先沿铺设再沿铺设;

（2）直接沿着线段铺设.

答案

如果先沿铺设,再沿铺设,则成本为(万元).

又因为,

，

所以直接沿线段铺设,成本为(万元).

如上图所示,在岸上取一点,设其离的距离为,则

.

设先沿铺设再沿铺设输油管时成本为万元,则.

因此,当

时,

.

令,可解得.

可知在上递减,在上递增.

从而在时取得最小值,而且最小值为50.

从而可知最少花费是96万元.

学生先自主思考，然后分组讨论.

让学生计算两种方案所需的费用，进步总结解决最优化问题的方法和途径.

培养学生审题的能力及

建立函数模型的能力.

概念形成

解决最优化问题的基本思路：

解决最优化问题的一般步骤：

（1）审题：阅读理解题目中文字表达的含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系；

（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

（4）作答：对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案

注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键.

教师讲解解决最

优化问题的基本思路

和解题的一般步骤.

通过师生互动，培养学生数学抽象的核心素养.同时让学生体会从特殊到一般的数学思想.

应用举例

例1如图,某海岛码头离岸边最近点的距离是,岸边的医药公司与点的距离为,现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知与之间有一条公路,现要用海陆联运的方式运送这批药品,若汽车的时速为,快艇时速为.试在岸边选一点,先将药品用汽车从送到,再用快艇从运到海岛码头,则点选在何处可使运输时间最短?

解设点与点的距离为,运输时间为,则.

因为

，

令,可解得.

因此可知在上递知,在上递增,从而在时取得最小值.

这就是说,点选在离点为时可使运输时间最短.

练习:位于两点处的甲、乙两村合用一个变压器,如图所示,若两村用同型号线架设输电线路,问变压器设在输电干线何处时,所需电线总长最短?

解设,则.

则所需电线总长

,

从而.

令,即,

解得或(舍去).

因为在上使的点只有,

所以根据实际意义,知就是我们所求的最小值点.

即变压器设在之间离点的距离为处时,所输电线总长最短.

例2如图所示,现有一块边长为的正方形铁板,如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形,然后做成

一个长方体形的无盖容器,则容器的容积匙截下的小正方形边长的函数.

（1）写的函数的解析数;

（2）为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？

解（1）根据题意可知,容器底面的边?为,高为,于是,

又因为?然的长度必须小于原有正方形边长的一半,因此,所以.

（2）由题意有

.

令,可解得.

因此可知在上递增,在上递减.故在时取得极大值，而且在此时取得?大值.

即截去的正方形边长为时,容器的容积最大.

练习：如下图所示,用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形,其面积为100,为使所用材料最省,半圆的直长应为多少?

解设半圆的半径为,铁丝化为,则矩形的一边长为,设与其相邻的另一边长为,

则,所以,

所以,

所以.

令,得,

所以,

解得(负值舍去),故半圆的直径为时用料最省.

例3已知某型号手机总成本元是月产量万件的函数,且.将看成能取区间内的每一个值,求月产量为多少时,才能使每件产品的平均成本最低?最低平均成本为多少?

解记平均成本为元,则

.

因为时,有,令,可解得.

因此可知在上递减,在上递增,从而在时取得极小值,而且在此时取得最小值.

即当月产量为10万件时,每件产品的平均成本最低,最低为400元.

练习:甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本(元)关于速度(千米/时)的函数关系是.

（1）求全程运输成本(元)关于速度的函数关系式;

（2）为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.

解

.

（2