线性方程组n维向量空间.ppt

* 第六节: n 维向量空间 在本章我们为了讨论线性方程组有无穷多解时解 与解之间的关系 , 我们引入了 n 维向量的概念 , 并对其进行了一些讨论 , 主要有 向量的两个线性运算 (加法与数乘 - - -有八条运算性质) , 线性表示 , 向量组的线性无关 , 线性相关 , 向量组的秩与极大无关组 - - - 。 下面我们再作一些进一步的讨论 。 1. n 维向量空间的定义 我们将数域 F上全体 n 维向量所成集合记为 Fn , 则 Fn 中有两个普遍可行的运算(向量的加法与数乘) 运算结果唯一且封闭 , 适合八条运算性质 。将它们 视为一个整体 , 称为数域 F上的一个 n 维向量空间 , 仍记为 Fn 。 Fn={(a1 ,a2 . . .an ),两个运算,八条性质|ai ?F} i = 1 , 2 . . . n 定义：设 M 是 n 维向量空间 Fn 中 一部分向量所组 成的集合 , 若 M 对 n 维向量的加法与数乘封 闭 , 则称 M 是 Fn 的一个线性子空间 , 简称子 空间 。 见书上 P101,P82。 * 显然 Ｍ 仍然是数域 F 上的 n 维向量空间 。 * M 中至少有一个向量 例如 M = { ( a , 0 ,0 … 0 )︱a∈F } ,则 M 是 Fn 的一个子空间 。 又如给定数域 F上的 m×n 矩阵 A , 我们知道齐次线性方程组 AX = 0 的解空间 S 也是 Fn 的一个子空间 。 请你再举出几个 Fn 的子空间 。 2. n 维向量空间 Fn 的基与维数 。 ＊由向量组的秩与极大无关组 扩充而得 。 * 显然 dim Fn = n , 基本向量组为其一组基 。 则 M 是 Fn 的一个子空间 。 证明：显然 M 至少有一个向量，例如零向量， ? ? , ? ? M , 可设 ? = k1 ?１+ k2?２+ ．．. +ks ?s , ? = ?1 ?１+ ?2?２+ ．．. +?s ?s , ? ? ? ? = ( k1+ ?1)?１+ ( k2+ ?2)?2+ . . . + ( ks+ ?s)?s ? ? ? ? ? M , ? 数 k ? F , ? k ? = (k k1) ?１+ (k k2) ?2+ . . . + (k ks) ?s ? k ? ? M , ? M 是 Fn 的子空间 。 由向量组线性表示的传递性 , 向量组的极大无关组 与秩以及 n 维向量空间基与维数的定义, 易得 dim ( M ) = r ( ?1 ? ?2 ? ?s ) , 且 ?1 ? ?2 ? ?s 的任意一个极大无关组均可为 M 的一组基 ！！ 定义: 称例1中的子空间 M 为由向量组 ?1 , ?2 . . . ?s 生成 的子空间 , 记为 M = L ( ?1 , ?2 . . . ?s ) , 且称向量组 ?1 , ?2 . . . ?s 为子空间 M 的生成 向量组 。 ＊ 显然有 Fn = L(?1 , ?2 . . . ?n ) 齐次线性方程组解空间 S 的基与维数 = ? 解 ：设 ②＋①×1 ③－①×2 ④－①×4 ③－②×3 ④＋②×8 ? dim (M) = 3 , 下面介绍一个特殊的 n 维向量空间　 ３. 欧空间Ｒn 学过解析几何 (平面或空间) 者都知道 ,平面 或 空间的向量(实 2 维或 3 维向量)是有长度 , 夹角 , 垂直等概念的 。 也可用 书上 P92,P75 的方法 在第二章我们介绍的 n 维向量空间 Fn 中的向量是没有长度 , 夹角 , 垂直这些概念的 , 本节我们将在实 n 维向量空间 Rn 中引入上述概念 , 并介绍欧空间 Rn 及 Rn的标准正交基及求法 。 ＊前面对 n 维向量讨论的所有内容在Ｒn 中均成立！ 现在约定在实数域Ｒ上讨论 ! 既取Ｆ=Ｒ ,对实 n 维向量空间Ｒn 作进一步的讨论 , 引入一个叫 ‘内积’ 的运算 , 得到更多的结果！ ① 定义: ? ? ? ?a1 , a2 . . . . an ? ? 　 ? ? ? b1 , b2 . . . . bn ? ? Rn , 称实数 a1b1+ a2b2 + . . . . + anbn 为向量 ? 与 ? 的内积 ， 记