向量与线性方程组.ppt

定理 推论 任意m个n维的向量线性相关 行阶梯矩阵，行最简单矩阵 设A为m*n的矩阵，若A为行阶梯，满足下列三个条件 （1）a11,a22，…，ann以下的元素全为零 (2)每一行的每一个非零元前面的 零元个数大与前一行的这种零元的个数 （3）如果某一行的元全为零，则以下额 所有行的元全为零 作 业 P63 2.1(3), 2.2(2), 2.6, 2.8 预习 线性方程组解的结构 非线性方程组解的结构 非零行的每一个零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵称为行最简单矩阵。 行阶梯矩阵的秩等于非零行的个数，行最简单行矩阵的秩等与1的个数 ●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有： 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 例 求矩阵的秩 解 将矩阵作初等变换 所以 R(A)=3 行阶梯形 ●课堂练习： 利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩 答案： 问题：矩阵 B 中是否所有的三阶子式都不为零？ ●向量组的极大无关组 如果向量组 的部分组 满足 （1） 线性无关；（2）任意增加一个向量 （如果存在的话），向量组 线性相关。 则称向量组 为向量组 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。 例如：向量组 线性相关， 线性无关。 向量组 是向量组 的一个极大无关组。 向量组 也是向量组 的一个极大无关组。 可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。 ●向量组的秩 向量组 的极大无关组中所含向量的个数， 称为向量组的秩。记作 例如：向量组 的秩为 2 。 如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性相关。 矩阵A的秩 = 矩阵A的行向量组的秩 = 矩阵A的列向量组的秩 可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量 组的秩及极大无关组。 如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性无关。 例1 判别下列向量组的线性相关性 解 令 因为 所以 线性相关。 例2 判别下列向量组的线性相关性 解：令 因为 所以 线性无关。 ●向量组的等价关系 如果向量组A： 中的每一个向量可由向量 组B： 线性表示，同时，向量组B中的每一 个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。 定理：等价向量组的秩相等。 一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。 等价向量组的性质 （1）反身性：向量组A与自身等价； （2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B 与A等价； （3）传递性：如果A与B等价，B与C等价，则A与C等价。 若矩阵A 矩阵B，则矩阵A的行向量组与 矩阵B的行向量组等价； 行初等变换 若矩阵A 矩阵B，则矩阵A的列向量组与 矩阵B的列向量组等价； 列初等变换 例3 求下列向量组的一个极大无关组 解法1：作矩阵 记作 例3 求下列向量组的一个极大无关组 解法1：. . . . . . 记作 所以 与 等价，故有相同的秩。 因为 是由