向量组与线性方程组的解的结构.ppt

* * 第4章 向量组与线性方程组的解的结构 4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性 4.3向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构 即 矩阵 4.1向量组及其线性组合 4.1.1 维向量的概念 1． 维向量的定义 个有次序的数 维向量，这 个数称为该向量的分量，第 个数 称为第 个分量（或第 个坐标）． 行向量 列向量 即 矩阵 2．零向量 3．负向量 4．向量的相等 5．向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组 4.1.2 维向量的线性运算 1．加法与数乘 为任意实 数，则 2．加法与数乘的运算规律（略） 注:利用向量的运算,对于方程组 则 4.1.3　向量组的线性组合与线性表示 1.定义2 (1) 给定向量组 ,对于任何一组实数 ,表达式 称为向量组 的一个线性组合， 称为该线性组合的系数. (2)给定向量组 和向量 ,如果存在一组实数 ,使 则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组 线性表示. 2.定理1 可由向量组 线性表示 的充分必要条件是 矩阵 的秩等于矩阵 的秩 注：设 可由向量组 唯一线性表示 的充分必要条件是 例1 试问 能否由 线性表示？若能，写出具体表示式. 解: 所以 能否由 惟一线性表示，且 例2 因为, 所以, 不能由 线性表示. 解: 试问 能否由 线性表示？若能，写出具体表示式. 4.1.4　向量组的等价 1.定义3 设两个向量组 若向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示， 则称向量组 可由向量组 线性表示. 若向量组 与向量组 可以互相线性表示， 则称向量组 与向量组 等价. 2.定理2 设 向量组 与向量组 等价 向量组 可由向量组 线性表示 推论： 维向量组 4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义4 设有 ,若存在一组不全为 使 称向量组 线性相关,否则称为线性无关. 线性无关,则上式当且仅当 时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 线性相关 齐次线性方程组 有非零解 换言之,若 ,则 零的数 4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 定理3 向量组 线性相关 线性无关 向量组 例3 讨论向量组 的线性相关性. 解: 由于 ,从而 线性相关. 例4：已知向量组 ，问 是否线性相关. ， 所以， 是线性无关. 解： 例5：设向量组 线性无关，又设， 证明向量组 也线性无关. 证明：设有 使得 因为 线性无关，故有 此时，线性方程组只有零解 也即向量组 线性无关. 定理4 向量组 线性相关 有一个向量可以由其余 个向量线性表示. 向量组中至少 注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例. 4.2.3 线性相关性的判断定理 定理5 （1）若 线性相关,则 也线性相关; （ 2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关. 定理6 线性无关,而 若 线性相关,则 能由 线性表示，且表示式是惟一的. 定理7 设有两个向量组 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关； 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关. 注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组． 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个 方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性 相关的； 当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程） 是线性无关（或线性独立）的 . 4.3向量组的秩 4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义 1.定义5 设有向量组 ,如果在 中能选出 个向量 满足 ⑴ 向量组 线性无关； ⑵ 向量组 中任意一个向量都能由 线性表示 那么称 是向量组的一个极大线性无关组，简称极 大无关组；极大线性无关组所含向量的个