线性方程组3.向量组的秩..ppt

* * 第三节 ：向量组的秩 主要介绍以下内容 ： 将向量组的线性表示 , 线性相关 ，(无关) 应用到 一个向量组上 ，得到向量组的一个十分重要的概念 - - - 极大线性无关组与秩。 一 ：向量组的极大线性无关组与秩 。 由上一节的讨论 ，我们有: 一个线性无关的向量组 , 它的任意一个部分组均线性无关 。而对于一个线性相关的向量组 , 它的部分组不一定线性相关 。 实际上 ，一个向量组中的向量只要不全是零向量 ，就一定存在线性无关的部分组 ，因为其中仅含一个非零向量的部分组就是线性无关的 。 在这些线性无关的部分组中 ，最重要的就是极大 ( 最大) 线性无关 ( 部分) 组 。 在下面的讨论中 ，为了方便叙述 ，我们将较多的使用一些数学序号或符号 。 定义：设向量组 ⑵ 是向量组 ⑴ 的一个部分组， 如果 ⑵ 适合 ： ① ⑵ 是线性无关的。 ② ⑴ 中的每一个向量均可由 ⑵ 线性表示。 则称 ⑵ 为向量组 ⑴ 的一个极大线性无关部分组 , 简称极大线性无关组 , 或极大无关组 。 * 1 . 部分组 ，2 . 线性无关 , 3 . 再加一个向量就变成线性相关了 。 可以验证， 也是向量组 的一个极大线性无关组 。 由本例可以看出一个向量组的极大线性无关组是 不唯一的，但是它们均含有两个向量 。 问题 ：一个向量组的任意两个极大线性无关组之间 有什么关系？所含向量个数是否相同 ？ 一个向量组与它的极大线性无关组的关系又 如何 ？以及如何求一个向量组的极大无关组 ? 都是我们关心的问题 。 由定义一个向量组的极大线性无关组是指它的线性无关部分组中含有向量最多的那一个。一般 ，由于单个非零向量线性无关 ，所以任何一个含有非零向量的向量组一定存在极大线性无关组 ；而仅有零向量的向量组不存在极大线性无关组 。 一个线性无关的向量组 , 其极大无关组就是它自身 。 为了更深入的研究向量组的极大线性无关组的性质 ，需要讨论两个向量组间的关系 。 定义（书上 P83） 设向量组 (Ⅰ) 与向量组 (Ⅱ) ，若向量组 (Ⅰ) 中的每个向量都可以由向量组 (Ⅱ) 线性表示， 则称向量组 (Ⅰ)可由向量组 (Ⅱ) 线性表示 。 如果向量组 (Ⅰ) 与向量组 (Ⅱ) 可以互相线性 表示 ，则称向量组 (Ⅰ) 与向量组 (Ⅱ) 等价 ， 记为 ：｛Ⅰ｝≌｛Ⅱ｝。 * 请大家自己给出上述 3 条性质的证明 。 定理：任何向量组都与它的极大线性无关组等价 。 证明：设向量组 ( 2 ) 是向量组 ( 1 ) 的一个 极大无关 组 ，由极大线性无关组的定义 ，有向量组 ( 1 ) 中的每个向量均可由 ( 2 )线性表示 ，即向量组 ( 1 )可由 ( 2 )线性表示 ，而 ( 2 ) 是向量组 ( 1 ) 的部分组 ，所以 ( 2 ) 显然可由向量组 ( 1 ) 线性 表示 。 即向量组 ( 1 ) 与它的极大线性无关组( 2 )等价。 推论 ：一个向量组的任意两个极大无关组均等价 。 定理：设向量组 ?1 ? ?2 ? ?s (1) 与向量组 ?1 ? ?2 ? ?t (2) 若向量组 (1) 可由向量组 (2) 线性表示 ，且 s t . 则向量组 ?1 ? ?2 ? ?s 一定线性相关 。 见书上 P85 , P69 — 引理 1 * 多被少线性表示 ，则多必线性相关 ！ 定理的几何意义见书上 P84 , P68 显然(4) 式成立的充分必要条件是(5) 成立 , 即存在不全为零的数 使(4) 成立 ， 所以向量组 线性相关 。 例 3 . 因为 任何一个向量都可以用同维数的基本 (单位)向量组线性表示 ，所以对 显然向量组 ⑴ 可由向量组 ⑵ 线性表示 ， 本例结论还可以扩充为：任意 n + s (s 0 的整数