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第二章 插值法 一、代数插值的基本概念 当给出了函数y=f(x)在n+1个点上的一张函数表 x : x0 x1 x2 x3 …… xn y : y0 y1 y2 y3 …… yn 以后，要构造一个多项式 ，满足下面两个条件： （1） 是一个不超过n次的多项式；（2-1） （2）在给定的点 上与f(xi)取相同值 （2-2） 我们称 为f(x)的插值函数（或插值多项式），点xi为插值节点。 二、线性（一次）插值 1、问题 给出函数表 x : x0 x1 y : y0 y1 如何构造一个插值函数 ，使 满足（2-1）和（2-2）的要求呢？最简单的就是过(x0, y0), (x1, y1)点作一条直线。把直线方程表示为 （2-3） 为确定 ，把(x0, y0), (x1, y1)两点代入方程（2-3），得 只要 ，即可解出a,b。从图2.1可以看出，这就是用直线 近似地代替f(x)。 显然这样的 是满足（2-1）和（2-2）的。由于是用直线近似地代替函数f(x) ，所以称这种插值为线性插值。 图2.1 2、线性拉格朗日(Lagrange)插值 若把直线方程用两点式来表示，则有 （2-4） 上式右端是两个线性函数 和 的线性组合，我们把这两个函数分别记为 并把l0(x)叫做点x0的一次插值基函数，把l1(x)叫做点x1的一次插值基函数，把式（2-4）叫做f(x)过(x0, y0), (x1, y1)两点的一次拉格朗日插值多项式（或线性拉格朗日插值函数）。 3、线性牛顿(Newton)插值 若把直线方程用点斜式来表示，则有 （2-5） 在xi,xj处定义f(x)的一阶均差f(xi,xj)为 （2-6） 因此式（2-5）中的 是f(x)在x1,x0处的一阶均差f(x1,x0)。 利用均差的对称性，（2-5）式可以表示为 （2-7） 这种形式的插值称为线性牛顿(Newton)插值。 4、线性插值的误差估计 关于 与f(x)的误差（或称为余项），可以证明有下面的定理： 定理2.1 设给定 x : x0 x1 y : y0 y1 是过x0,x1的线性插值函数，[a,b]是包含 (x0,x1)的任一区间，并设 ，f”(x)在[a,b]上存在，则对任意给定的 总存在一点 （依赖于x）使 （2-8） 并且可以进一步证明 （2-9） 三、抛物线（二次）插值 1、问题 给出函数表 x : x0 x1 x2 y : y0 y1 y2 我们用这三个点来构造y=f(x)过三点的插值函数。众所周知，过三点可以作一条抛物线，假设其方程为 （2-10） 为确定三个系数，把 三点代入方程（2-10），得 （2-11） 当 互异时，方程组（2-11）的解存在而且唯一。解方程组（2-11）即可求得系数 。 2、