【2017年整理】计算方法公选课课件(第三章).ppt

第三章 数据拟合法 一、问题的引出 为了确定客观存在着的变量之间的函数关系，需根据大量的观测数据建立函数关系式，这些数据中往往带有随机的误差，如果利用这些数据按插值法求函数关系的近似表达式，必然将不合理的误差（形象地称作“噪声”）带入函数关系式中来。 例如测试某物体的匀速直线运动，得到一组数据(ti,si)(i=0,1,…m)，将其描在坐标平面上，如图3-1。由于测试有误差，所以数据点没能落在一条直线上。显然，再用插值法求运动方程，会得出不符合实际的结果，必须寻求新的方法。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 图3-1 根据Ots平面上测试点的分布情况，可以画出很多条靠近这些点的直线，其方程都可以表示为 （3-1） 其中a,b为待定参数。下面从形如（3-1）的所有直线中，找出一条用某种度量标准来衡量是最靠近所有数据点(ti,si)(i=0,1,…m)的直线。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 令 ，用wi表示测试数据(ti,si)的重度，称为权系数，通常用 作为衡量S(ti)与数据点(ti,si)(i=0,1,…m)偏离大小的度量标准，对于确定（3-1）式中的待定参数比较方便。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、基本概念 将上述问题推广至一般情形。设(xi,yi)(i=0,1,…m)为给定的一组数据， wi (i=0,1,…m)为各点的权系数（通常要求 wi 0），要求在函数类 中，求一函数 （3-2） 满足 （3-3） 其中 为 中任意函数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 我们称按条件（3-3）求函数S*(x)的方法为数据拟合的最小二乘法，简称最小二乘法。并称S*(x)为最小二乘解， S(x)为拟合函数。 三、法方程组 设 求最小二乘解S*(x)的关键是求待定参数aj*(j=0,1,2,…,n)。由（3-3）式知， 将在某点(a0*, a1*,…, an*)取得最小值。由函数取极值的必要条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 得 即 （3-4） 令 并定义内积 （3-5） （3-6） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是可将方程组（3-4）写作