计算方法第三章(插值法)汇总.ppt
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第三章 插值法第一节 插值多项式的基本概念 假设已经获得n+1点上的函数值 即提供了一张数据表 ? 如何利用这张表求 f (x) 在其他给定点上的合 理的近似值呢? 因式定理:多项式P(x)具有r 次因式 (x-a)r 的充 要条件是 最一般的插值条件: 是 重插值节点, 设函数 y = f (x) 在闭区间 [a , b ]上有n + 1 阶导数, 满足前面的一般插值条件,且插值节点各不相同, 则插值截断误差为 证明思路:构造辅助函数,用罗尔定理。 值得注意的是在较大区间上进行插值时,误差可能会 很大!另外,一般情况下,外推不如内插好! 第二节 Lagrange插值公式 插值条件是 一次插值: 问题为求一次多项式,即一次函数,过以下 两点: 容易求出,该函数为: 一般插值问题:求过n+1个点 的不超过n次多项式 。 称为Lagrange插值基函数,满足: 求过n+1个点的不超过n次多项式的插值多项 式是唯一的。 插值公式的误差为: 计算程序 框图 第三节 逐次线性插值 函数 y = f (x)在节点 上的插值多项 式记为 ,则有 Aitken(埃特肯)算法 Neville(列维尔)算法 Aitken(埃特肯)算法 Neville(列维尔)算法 例子:求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ,其反函数为 x=f -1(y),则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16), 2= f -1(-1)插值,得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ,以-0.39为新的节点,继续…… 第四节 牛顿插值 设插值点为 插值多项式形如 称为Newton形式的插值多项式。 差商概念: 设函数 f (x) ,定义函数在两个不同点的一阶差商为 三个不同点的二阶差商为: 在点 处 K+1 阶差商为: 给定 n +1个点的函数值 差商的计算简表: 例子:用0、30、45、60、90五个点作出sinx 牛顿插值多项式。 做差商表 牛顿插值的截断误差: 例子:用0、90、180、270、360五个点作出sinx 牛顿插值多项式。 做差商表 差商的性质 由于n次插值多项式是唯一的,所以牛顿插值公式与Lagrange 插值多项式一样,这意味着余项也一样,Lagrange余项为: 所以牛顿余项也一样, 差商与导数的关系 重节点差商 推论:当n个节点全为同一个点,牛顿插值变成 泰勒多项式。 差商的导数 n 次多项式的的 1 阶差商是 n-1 次多项式。 差分 设函数 ,定义 为该函 数在 i 点的一阶向前差分,记为 类似地,定义二阶向前差分为: K 阶差分为: 此差分称为向前差分。 类似地,向后差分定义为: 中心差分定义为: 差商与差分的关系: 等距节点时 第五节 带导数的插值 问题的提出:如果在已知节点处不仅知道函数值, 同时还知道导数值,这样,插值多项式就要求在 已知节点处与函数值和导数值都相等。这就是所 谓埃尔米特(Hermite)插值。 1、推广牛顿插值法 如果已知某个点 i 的 ,则 插值节点应视为 个相同节点 ,并注意到k+1 重节点的差商 例子:已知关于函数 y = f (x)的函数值、导数值 2、构造基函数法 已知函数在n个不同的节点处的函数值和导数值: 求次数不超过2n-1次的多项式 设想其具有形式: 要求: 由条件可得: 此外,由 得: 同理: 由 ,可得: 最后,得到埃尔米特插值公式: 特别,当 n=2 时,三阶埃尔米特多项式为: 埃尔米特插值公式唯一。 误差估计:设被插值函数在插值区间上2n次连续可 导,则在n个节点上的2n-1次插值多项式的余项为: 特别,对于2个节点3次插值,余项为: 例子: 如用距离
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