计算方法实验插值法.doc
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一、实验目的与任务
1． 掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值的基本原理；
2． 理解各种插值法的优缺点和插值的误差；
3． 熟悉插值法的一般过程。
二、实验涉及的相关知识点
线性插值函数的使用。
三、实验内容与过程
（1） 【实验1.1】利用C语言编程计算：
已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值法及抛物线插值法计算sin0.3367的值并估计截断误差。
线性插值公式为：由（xk,yk）、(xk+1,yk+1)得
lk(x)=(x-xk+1)/(xk-xk+1), lk+1(x)=(x-xk)/(xk+1-xk)
L1(x)=yk*lk(x)+yk+1*lk+1(x)
抛物线插值公式为：由（xk-1,yk-1）、(xk,yk)、(xk+1,yk+1)三点可得插值公式：
lk-1(x)=(x-xk)(x-xk+1)/((xk-1-xk)(xk-1-xk+1))
lk(x)=(x-xk-1)(x-xk+1)/((xk-xk-1)(x-xk+1))
lk+1(x)=(x-xk-1)(x-xk)/((xk+1-xk-1)(xk+1-xk))
L2(x)=yk-1*lk-1(x)+yk*lk(x)+yk+1*lk+1(x)
（2）【实验1.2】牛顿插值法：
函数值与自变量的差商就是均差，
一阶均差 (或记作f [x0,x1]);
二阶均差 (或记作f [x0,x1,x2])
均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。
用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式
Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+…+f(x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
牛顿插值多项式的余项为
Rn(x)=f(x)－Nn(x)=f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)
四、实验结果及分析
【实验1.1】
线性插值结果：
抛物线插值结果：
【实验1.2】
线性插值结果：
抛物线插值结果：
五、实验相关说明
有的容易实现，但在调式时就有很大问题，VC++不是英文输入法下作的都不行。VC++6.0提示错误时不够完善，我觉得用Microsoft Visual Studio 2008中的VC++比较好。
六、实验有关附件（如程序、附图、参考资料，等）
【实验1.1】用Microsoft Visual Studio 2008中的C++实现
#include stdafx.h
#include iostream
using namespace std;
int main()
{
int N,i,j;
float a[10],b[10];
float X,Y=0,s,t,k,U,W;
cout请输入插值节点的个数(N = 2的整数)：;
cinN;
cout请输入各个插值点和对应的函数值：\n;
for(i=j=0;(iN)(jN);i++,j++)
{
cout请输入第i+1插值点: ;
cina[i];
cout请输入第j+1差值点对应的函数值：;
cinb[j];
}
cout输入需求差值点的值：;
cinX;
for(j=0;jN;j++)
{
s=a[j];
t=b[j];
U=W=1;
for(i=0;iN;i++)
{
if(i == j) continue;
U=U*(X-a[i]);
W=W*(s-a[i]);
}
k=U*t/W,Y=Y+k;
}
cout所求得的节点函数值是: Yendl;
system(pause);
【实验1.2】牛顿插值法：
#include stdafx.h
#include iostream
#include math.h
using namespace std;
int main()
{
int I,j,k,n;
float x[10],y[10],a,b,p;
cout输入插值点个数n: ;
cinn;
for(I=0;In;I++)
{
cout请输入第I+1个插值点的值: ;
cinx[I];
cout请输入第I+1个插值点对应的函数值: ;
ciny[I];
}
cout输入需求插值点的值: ;
cina;
b=0;
k=0;
do{p=1;
j=0;
do
{if(j!=k)
p=p*(a-x[j
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