数值分析与计算方法 第一章 插值法.ppt

解：这是第一类边界条件的问题 ，n=2,hi=h,由公式 μ1 =λ1 =1/2 ，d1 =3/2； μn =λ0 =1 ，d0=3,d2=-12 得方程组 2 M0 + M1 = 3 0.5 M0 + 2M1 +0.5 M2 = 1.5 M1 +2 M2 = -12 解得 M0 =0.25 , M1 =2.5 M2 = -7.25 故所求的三次样条插值函数 - (1/48)(x-4)3 + (5/24)(x-2)3 -(17/12)(x-4)+(8/3)(x-2), x∈[2，4] S(x)= - (5/24)(x-6)3 - (29/48)(x-4)3 -(8/3)(x-6)+(107/12)(x-4), x∈[4，6] 例2．已知 f(x) 在若干点处的值为： f(0)=0,f(2)=16,f(4)=36,f(6)=54,f(10)=82,以及f′(0)=8,f′(10)=7.试求 f(x) 的三次样条插值函数s(x)以及 f(3), f(8) 的近似值。 解：构造一阶均差表 i xi f(xi) f[xi,xi-1] 1 0 0 8 2 2 16 10 3 4 36 9 4 6 54 7 5 10 82 由于 h1=h2=h3=2,h4=4, 因此 d1=f[x1,x2]-f′(0)=0 ， d2=f[x2,x3]-f[x1,x2]=2, d1=f[x1,x2]-f′(0)=0 ， d2=f[x2,x3]-f[x1,x2]=2, d3=f[x3,x4]-f[x2,x3]=-1, d4=f[x4,x5]-f[x3,x4]=-2, d5=f′(10)-f[x4,x5]=0. 方程组应为 4 2 0 0 0 m1 0 2 8 2 0 0 m2 2 0 2 8 2 0 m3 = 6 0 0 2 12 4 m4 -2 0 0 0 4 8 m5 0 解出 m1=-1, m2=2 ，m3=-1, m4=-1, m5=0.5 因此可得 8X-1/2X2+1/4X3, X∈[0,2] 16+9(X-2)+ (X-2)2+1/4(X-2)3 , X∈[2,4] S(X)= 36+10(X-4) -1/2 (X-4)2, X∈[4,6] 54+8(X-6) -1/2(X-6)2 +1/16(X-6)3 ,X[6,10] ∴ S(3)=S2(3)=25.75 S(8)=S4(8)=68.5 * * * * * x0 x1 x2 x3 x4 x H9(x) ? f(x) 全导数的Hermite插值多项式的几何意义 如n=1时Hermite插值多项式 为 ? 求Hermite多项式的基本步骤： ? 写出相应于条件的hi(x)、 hi(x) 的组合形式； ? ? 对每一个hi(x)、 hi(x) 找出尽可能多的条件给出的根； ? ? 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； ? 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； ? 最后完整写出H(x)。 余项： ——带余项的Herm