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计算方法 1 插值方法 问题的提出 各种典型的问题 典型问题的回顾 设已知数据对(xi，yi)(i=0,1, … ,n)，构造n次多项式  使得pn(xi)= yi 。 如何确定待定系数ai？ 线性方程组的解法——线性代数 问题： 计算量大 效率低——新增加一个数据对？ 误差 寻求一种有效的方法 先看一个特例 1次多项式。 又一特例 二次多项式 递推公式 插值问题中的一个非常重要的问题 1.1 问题的提出 计算函数值 需要计算函数值，但函数关系复杂，没有解析表达式。 常见的有：由观测数据计算未观测到的点的函数值。 ——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替要寻求的函数——插值法。 1.2 典型问题 几个典型问题： 问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。 问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件： 为一组已给数据。 问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。 1.3 问题1——基本概念 问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)； 误差函数：r(x)=f(x)-g(x)；要求|r(x)|在[a，b]上比较小，即g(x)较好地逼近f(x)； 点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称基点(节点)； [min(x0，x1，…，xn)，max(x0，x1，…，xn )]为插值区间； f(x)为求插函数；g(x)为插值函数；r(x)为插值公式的余项； f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。 依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x计算g(x)作为f(x)的近似值——插值； 点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程； 外插——插值点位于插值区间内的插值过程，也叫外推。 要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。 代数插值法——g(x)=p(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式 1.3.1 Lagrange插值公式 Lagrange插值多项式 令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x)的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，i=0，1，…，n)，寻找一个多项式p(x) R[x]n+1，满足： p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n) Lagrange插值多项式 记 为lagrange基本多项式或插值基函数。 lk(x)的性质 lk(xj)=δkj 则 为Lagrange插值公式 性质 Pn(xi)=yi; 唯一性。 Lagrange插值余项 rn(x)=f(x)-pn(x) Lagrange余项定理 设f(x)在包含n+1个互异基点x0,x1, … ,xn在内的区间[a,b]内具有n阶连续导数，且在(a,b)内存在n+1阶有界导数，则当x [a,b]，必存在一点ξ (a,b) ，使得 证明——《数学分析》 误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用代数多项式插值不合适。 几个典型特例 ——基函数(图形)与插值公式 线性插值 二次多项式插值 例题 1.3.2 埃特金(Aitken)算法 问题的提出：