计算方法第章多项式插值方法.ppt

* 第四章 多项式插值方法 4.1 引言　 　　　 　　 4.2 Lagrange插值多项式 　　 4.3 Newton插值多项式 4.4 分段低次插值　 则称P(x)为f (x)的插值函数。这时，我们称[a,b]为插值区间， 称 为插值节（结）点，称（4-1）为插值条件，f (x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称为插值法。 4.1 引言 定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不相同的点 上取值 。如果存在一性态较好的简单函数P(x)，使得 从几何上看，插值法就是确定一个简单曲线 为y=P(x) ，使其通过给定的 n+1个点 ， 并用它近似已知曲线 y=f (x). 图2-1 特别地，当P(x)为次数不超过n次的代数多项式时，相应的插值法称为多项式插值；当P(x)为三角多项式时，相应的插值法称为三角插值；当P(x)为分段解析函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值。 定理 4.1 在 n+1 个互异点 上满足插值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式Pn(x) 存在且惟一。 记实系数多项式 即有 所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn(x)存在且惟一，证毕。 证明： 4.2 Lagrange插值多项式 4.2.1 线性插值与二次插值 设给定函数 两点 ， 经过这两点的多项式插值就是直线 称给定 为线性插值多项式。称 为关于点 的线性插值基函数，其在节点处满足： 4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式 几何上 是通过三点 的抛物线. 可以用基函数的方法求 的表达式， 是二次函数， 4.2.2 拉格朗日插值多项式 解 而此因式已为n次多项式，故应有 求的n+1个次数 次的插值多项式 满足 再由 称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数 或称为拉格朗日基本插值多项式。(据之，我们可构造多项式 它称为n次拉格朗日插值多项式。 引进 n+1 次与n次多项式函数为 n次拉格朗日插值多项式可表示为 误差估计定理 注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式 4.2.2 插值余项与误差估计 定理4.2 设f(x)的n+1阶导数 在[a,b]存在，则对任何 ，插值余项满足 （2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。 特别地，当k=1时 例4.1：已知函数 x -1 0 1 y 1.25 0.75 1.25 解： 4.3 Newton插值多项式 问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？ 优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。 缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化. 问题：如何改进？ 4.3 Newton插值多项式 4.3.1 均差的定义和性质 定义：称 为函数 关于点 的一阶均差. 称为 关于点 的二阶均差. 一般地，称 为 的 阶均差 （均差也称为差商）. 4.3 Newton插值多项式 4.3.1 均差的定义和性质 利用如下均差表来计算均差： 解 根据给定函数表造出均差表 给出 的如下函数表， 由此计算 关于点0,2,4,8的三阶均差 . 例 9 -39 -3 10 8 4 2 0 -2.875 -18 -39 4 0.984375 5 12 9 8 -6.5 -3 2 10 0 三阶均差 二阶均差 一阶均差 均差的性质： 这性质又称为均差关于自变量的对称性。 根据均差定义，把 看成 上一点， 可得 4.3 Newton插值多项式 4.3.2