计算方法-Newton插值.ppt

xi f[xi] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2 ] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3 ] x0 f(x0) x1 f(x1) f[x0, x1] x2 f(x2) f[x1, x2] f[x0, x1, x2 ] x3 f(x3) f[x2, x3] f[x1, x2, x3 ] f[x0, x1, x2, x3 ] … … … … … xi f[xi] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] 1 1 4 2 (2-1)/(4-1)=1/3 9 3 (3-2)/(9-4)=1/5 (1/5-1/3)/(9-1)=-1/60 N2(x)=1+1/3(x-1)-1/60(x-1)(x-4) =-1/60x2 +5/12x+3/5 N2(7)=2.7 例 2.12 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解1：考虑f(x)=√x，利用差商表求差商 解2：利用公式求差商 x 1 4 9 f(x) 1 2 3 用这种方法解得得系数与方法1的相同。 解3：利用拉格朗日方法求插值对多项式 求2次插值对多项式 x 1 4 9 f(x) 1 2 3 =-1/60x2 + 5/12x + 3/5 4.4 .1 差商及其性质 例2.13 已知 x=0, 2, 3, 5 对应的函数值为 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多项式。 xi f(xi) 1阶差商 2阶差商 3阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -2/3 5 5 3/10 例2.14 求 的值，并估计其误差 解：令 ，取 x0=4, x1=9, x2=6.25 x f(x) f [xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] 4 2 9 3 6.25 2.5 , 差商表 在区间[ 4 , 9 ]上， 由 计算器计算结果： N2(7)=2.7，差一些 例2.12中，计算结果为： 代入x=7 例2.14中，计算结果为： N2(7)=2.64848，好一些 4.4 .1 差商及其性质 例2.15 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性质 解: 由差商与导数之间的关系 例2.16 给出f(x)的函数表如下，求4次Newton插 值多项式，并且由此计算f(0.596)的值,并 且估计误差 R4(0.596). xi f(xi) 0.40 0.41075 0.55 0.57815 0.65 0.69675 0.80 0.88811 0.90 1.02652 1.05 1.25382 xi f(xi) 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 0.40 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.80 0.88811 1.27573 0.35892 0.19730 0.90 1.02652 1.38410 0.43348 0.21303 0.03146 4次Newton插值多项式(需5个节点)如下： N4(x) = 0.41075 + 1.116(x-0.4) + 0.28(x-0.4)(x-0.55) + 0.1973(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65) + 0.03146(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8) 解：首先计算出差商表如下： 经计算得 N4(0.596) = 0.63192 现在试图进行误差估计： R4 (x) =|f[x, x0, x1, x2, x3, x4 ]ω5(x)| 因为 x = 0.596，所以要进行以上的差商运算，需要知道f(0.596)的值，但是我们现在不知道f(0.596)的值。 怎么办？ 可以利用 f(0.596)≈N4(0.596) = 0.63192 来计算差商，见下页。 xi f(xi) 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 5阶差商 0.40 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.80 0.88811 1.27573 0.35892 0.19730 0.90 1.02652 1.38410 0.43348 0.21303