计算方法 1.2 Newton插值.ppt

2.1 线性插值公式---两节点的Newton插值公式 下面，为了使插值公式具有承袭性，Newton插值基函数取为： 2. Newton插值公式 待定系数法： 带入插值条件，有 被称为 在点 的零阶差商。 是对 进行修正而得到的！ 称 为 的一次Newton插值公式。 若记一个节点 的零次插值多项式为 ，则 ，一次Newton插值多项式变为 修正项 修正项的系数 2.2 二次Newton插值公式---三个节点的Newton插值公式 对称性 被称为 在点 的一阶差商。 带入插值条件，得 于是，所求插值多项式可写成 这表明， 是由 修正得出。下面确定系数 。 被称为 在点 的二阶差商。 称为 的二次Newton插值公式。二阶差商是二次插值函数的最高次项系数！ 更一般地，我们定义函数在节点 的 阶差商： 其中假设各节点 是互异的。 若节点有重合的，则通过考虑差商的极限状态，可定义重节点的差商 类似地， 差商的性质 性质1. 例如， 时， 差商与函数值的关系 例如， 时， 性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会  改变差商的值。设i0, i1, …, ik为0, 1, …, k的任一排列, 则 由性质1知，任意改变节点的次序，只改变了右端表达式的求和次序，故其值不变。 性质 3 若 f (x)为 n 次多项式，则一阶差商 f (x, xi)为n ?1次多项式。 由一阶差商的定义 显然 是函数 的零点。从而，该函数含有 因子 ，可与分母相约分。 差商与节点排列顺序无关 一般地，函数 f (x)的k阶差商f (x, xi , xi+1 ,…, xi+k-1 )为 n -k次多项式，而当k n 。 k阶差商为零。 差商的计算 i xi f (xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 … n 阶差商 0 x0 f (x0) 1 x1 f (x1) f [x0, x1] 2 x2 f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2] 3 x3 f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] … … … … … … n xn f (xn) f [xn ?1, xn] f [xn ?2, xn ?1, xn] f [xn ?3,…, xn] … f [x0, x1, …, xn] 一阶差商是由节点上函数值定义的，二阶差商是由一阶差商定义的，…，依此构造差商表： 2.3 次Newton插值多项式 首先，利用前 个插值条件 ，构造出一个 次代数多项式 ： 注意到， 是一个次数不超过 的代数多项式 ，且有 个零点，从而， 可由 修正得出： 再利用最后一个插值条件 ，定出系数 于是，我们得到了 次Newton插值多项式： 其中 几点说明： 1）根据插值问题解的存在唯一性，可知：在相同的节点上进行插值，所得到的Lagrange插值多项式与Newton插值多项式本质上是同一插值多项式，仅表现形式不同！ 2）二者的内在结构有着实质性的差异。Lagrange插值多项式的每一项都几乎与所有节点有关联；对于Newton插值多项式，节点是按逐项顺序依次出现的，每增加一个插值节点，只需在原有的基础上多计算一项，这种性质称作Newton插值公式的承袭性。 2.4 插值多项式的余项 下面来估计截断误差： 定理2.1. 证明： 类似地，可推出 差商与导数的关系 性质