【2017年整理】计算方法公选课课件(第十章).ppt

第十章 常微分方程初值问题的数值解法 一、常微分方程初值问题的概念 1、微分方程 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，称为微分方程。这里必须指出，在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但未知函数的导数则必须出现。 2、常微分方程和偏微分方程 含有未知函数的通常意义下的导数的方程称为常微分方程。例如，方程 （10-1） 是常微分方程，有时将常微分方程简称为微分方程。 含有未知函数的偏导数的方程称为偏微分方程。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例如，方程 （10-2） 是偏微分方程。 3、常微分方程的阶数 常微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为常微分方程的阶数。例如方程（10-1）是一阶常微分方程。而方程 （10-3） 是二阶常微分方程。 4、常微分方程的解 若把某个函数代入常微分方程，能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该常微分方程的解。例如 y=x2+C(C是任意常数） (10-4) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 和 y=x2+1 （10-5） 都是常微分方程（10-1）的解。又如 s=-0.2t2+C1t+C2（C1和C2都是任意常数）（10-6） 和 s=-0.2t2+20t （10-7） 都是常微分方程（10-3）的解。 5、常微分方程的通解及其几何意义 如果常微分方程的解中含有任意常数，而且任意常数的个数与常微分方程的阶数相同，这样的解称为常微分方程的通解。例如（10-4）是常微分方程（10-1）的通解，（10-6）是二阶常微分方程（10-3）的通解。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 常微分方程通解的几何意义是一族曲线，或称为曲线族。 6、常微分方程的特解和初始条件 由于常微分方程的通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，要完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值，为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这样的条件称为常微分方程的初始条件，初始条件有时也称为初值。例如，若常微分方程（10-1）的初始条件为 y(1)=2 （10-8） 则其解就确定为（10-5）了。又如若二阶常微分方程（10-3）的初始条件为 （10-9） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则其解就确定为（10-7）了。 常微分方程的满足初始条件的解称为常微分方程的特解。例如（10-5）是常微分方程（10-1）满足初始条件（10-8）的特解。（10-7）是二阶常微分方程（10-3）满足初始条件（10-9）的特解。 7、常微分方程初值问题 带有初值的常微分方程称为常微分方程初值问题。例如 （10-10） 和 （10-11） 都是常微分方程初值问题。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides fo