【2017年整理】计算方法公选课课件(第六章).ppt
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第六章 数值积分 一、问题的提出 按照定义,定积分 是利用牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibnitz )公式 (6-1) 来计算的。其中F(x)是被积函数f(x)的原函数,F’(x)=f(x)。可是实际中经常遇到的一种情况是被积函数f(x)的原函数F(x)不存在(例如椭圆积分),因此无法利用(6-1)式计算 ;另一种情况是被积函数f(x)的原函数F(x)虽然存在,但很复杂,因此利用(6-1)式计算 很麻烦;还有一种情况是被积函数f(x)不是以数学公式的形式给出,而是以表格的形式给出,因此公式(6-1)就 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 更无法利用了。为此,我们讨论计算 近似值的数值计算方法--数值积分。 二、基本求积公式 1、梯形求积公式 用a,b两点作一次插值多项式 用 代替f(x)在区间[a,b]上作积分,得 (6-2) 从图6.1看到,这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积,所以式(6-2)叫做梯形求积公式。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 图6.1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 根据定理2.1有 其中 是依赖于x的函数,两边积分得 假定 在[a,b]上连续,而(x-a)(x-b)在[a,b]上恒小于零,利用积分中值定理,在[a,b]上存在一点 ,使 因此,梯形求积公式的误差估计为 (6-3) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2、抛物线求积公式 把区间[a,b]二等分,过a,b和 三点作二次插值多项式 用 代替f(x)在区间[a,b]上作积分,得 (6-4) 图6.2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 从图6.2看到,这是用抛物线 所围成的曲边梯形面积近似代替f(x)所围成的曲边梯形的面积,所以式(6-4)叫做抛物线求积公式,有时也叫做辛浦生(Simpson)公式。 利用和梯形求积公式的误差估计相同的方法,若假定 在[a,b]上连续,则得抛物线求积公式的误差估计为 (6-5) 3、牛顿-柯特斯( Newton-Cotes)公式 把区间[a,b]n等分,其分点为 过这n+1个节点,构造一个n次插值多项式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 其中 。用 代替f(x)在区间[a,b]上作积分,得
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