【2017年整理】计算方法公选课课件(第五章).ppt

第五章 线性方程组的迭代解法 一、问题的描述 设有方程组 （5-1） 用矩阵表示为 AX=b （5-2） 其中A是系数矩阵，非奇异，b是右端项，X为解向量。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解线性方程组（5-1）的迭代法（有时也叫逐次逼近法），其基本思想是构造一个向量序列{X(n)}，使其收敛至某个极限向量X*，而X*就是要求的方程组（5-1）的准确解。 二、简单迭代法（又称Jacobi迭代） 假设 ，令 （5-3) 方程组（5-1）可改写为 （5-4） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若令 （5-5） 容易看出 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 方程（5-4）用矩阵符号可表示为 X=BX+g （5-4）’ 选取初始向量 ，代入（5-4）的右端，就可以得到一新向量，记为 。把 再代入（5-4）的右端，可以得到 ，如此等等，一直继续下去，迭代格式可表示为 （5-6） 用（5-6）计算，可以得到一个向量序列{X(k)} ，当 时，若序列{X(k)}收敛到X* ， X*就是方程组（5-1）的解，这是因为迭代序列{X(k)}收敛到向量X* ，则X*适合方程 X*=BX*+g 根据B和g的定义（5-5）有 (I-B)X*=g=D-1b Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即 AX*=b 也就是说X*是方程组（5-1）的解。以上的计算过程称简单迭代法，矩阵B称为简单迭代法的迭代矩阵。 例1：方程组 的准确解是： 。 把方程组改写成 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 取 ，采用简单迭代法，计算结果如下： k x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.72 0.83 0.84 2 0.971 1.07 1.15 3 1.057 1.1571 1.2482 4 1.08535 1.18534 1.28282 5 1.095098 1.195099 1.294138 6 1.0983375 1.1983374 1.2980394 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET