计算方法PPT课件第五章 插值与拟合.pptx

第五章 插值与拟合主讲 韩光朋§5.1 插值与拟合的基本概念主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋且用此方法可得到插值多项式Pn。但这种方法不适用，只能用作理论研究。主讲 韩光朋插值余項图5.1主讲 韩光朋 定理5.2 设f(x)在[a, b]上n+1阶导数存在，则插值多项式(5.2)的余项为主讲 韩光朋主讲 韩光朋§5.2 拉格朗日(Lagrange)插值5.2.1 拉格朗日插值基函数 对于给定的n+1个互异的节点 ，为了构造求解n次多项式插值问题的可行算法，我们首先考虑一个简单的n次多项式插值问题。已知 y=f (x) 的如下函数值表0 0 … 0 1 0 … 0(5.8)主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋5.2.2 拉格朗日插值多项式 设用试验或观测方法得到函数 的如下函数值表xiyi (5.11)主讲 韩光朋这表明式(5.12)就是满足插值条件式(5.11)的多项式插值函数，它是插值基函数的线性组合。 由插值多项式的存在唯一性知，将Ln(x)化简成n次多项式标准形式(5.2)后，与用求解方程组(5.3)而得的插值多项式是相同的，称形如式(5.12)的插值多项式Ln(x)为拉格朗日插值多项式。 讨论，在（5.12）式中： 当n＝1时，是一次插值多项式（也称线性插值）主讲 韩光朋主讲 韩光朋例1 已知 的值如下：（重点）xi 1 2 3yi0.7 1.1 1.4⑴求拉格朗日插值多项式L2(x);⑵求L2(2.5);⑶求插值余项R2(x)并估计R2(x)。主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋略主讲 韩光朋主讲 韩光朋略主讲 韩光朋§5.3牛顿插值主讲 韩光朋（略）主讲 韩光朋（略）主讲 韩光朋主讲 韩光朋各阶差商可按差商表（见表5.1）计算。 (重点） 主讲 韩光朋5.3.2.Newton插值多项式主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋（另见P121例3）主讲 韩光朋解：先造差商表(重点）主讲 韩光朋 由Newton公式得四次插值多项式为：主讲 韩光朋5.2(§5.4略)(§5.5带导数的插值略)主讲 韩光朋(5.28)(5.28)(5.28)(5.28)主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋§5.6 分段插值 （一般了解）主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋（一般了解）主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋5.8 最小二乘法与曲线拟合主讲 韩光朋 实际中，当数据量特别大时一般不用插值法。这是因为数据量很大时所求插值曲线中的未知参数就很多，而且数据量很大时，多项式插值会出现高次插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插值曲线刻意经过这些点也没有必要。 而曲线拟合是：首先根据物理规律或描点画草图，确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择低次多项式形式（所含参数比较少），然后按最小二乘法求出该曲线，它未必经过所有已知点，但它能反映出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较好。主讲 韩光朋主讲 韩光朋§5.8.1 矛盾方程组与最小二乘法1.矛盾方程组 (预备知识:矛盾方程组的定义) 设有线性方程组主讲 韩光朋2.最小二乘法 (方法的推导与求法)主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋 （5.75）式是n阶方程组,称为原矛盾方程组对应的法方程组(或正则方程组，正规方程组)。故矛盾方程组的最小二乘解一定是相应的法方程组的解，反之结论是否成立呢?3.理论讨论 ⒈不难理解，偏差总量Q无最大值，但有最小值，又Q只有一个驻点(偏导为零的点)，故该驻点一定就是最小值点，亦即法方程组(5.75)的解一定就是矛盾方程组的最小二乘解。当然,也可从数学上更严格推证这个结论(略)。主讲 韩光朋§5.8.2 几种具体的拟合曲线类型多项式拟合(多种拟合方法中的一种)主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋主讲 韩光朋?主讲 韩光朋注：见最后一屏例2主讲 韩光朋主讲 韩光朋(了解）主讲 韩光朋解 将已给数据标在坐标纸上，见右图。由图我们看到，开始时浸蚀速度较快，然后逐渐减弱，到一定的时候就基本稳定，因此可以认为当x→∝时，y趋于某个定数，即有一条水平渐近线，另外当x＝0时容积的增大为0。根据这些特点，我们选取数据拟合的曲线为双曲线型，即取有理函数主讲 韩光朋主讲 韩光朋