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计算方法 我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、 Newton插值、Hermit 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为得是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。 §5.5 三次样条插值 计算方法 计算方法 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而趋于0的，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？ 计算方法 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 取 计算方法 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在区间[a , b]上连续; (2) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数为m的多项式; 则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多项式。 定义： 计算方法 m=1称为分段线性插值 m=2称为分段抛物线插值 分段线性插值的构造： 由定义，?(x)在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是一次插值多项式; 计算方法 定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ， 且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计： |f(x)- ?(x) |=|R(x)| ≤m2h2/8， x∈[a, b]。 证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时 |f(x)- ?(x) |=|R(x)| = |f″(?)(x-xi)(x- xi+1 )|/2! ≤m2max |(x-xi)(x- xi+1 )|/ 2≤m2h2/8， 上式右端与小区间的位置无关，证毕。 分段线性插值的余项： 计算方法 注意到h随分段增多而减少，因此用分段法 提高精度是很好的途径。 计算方法 (1)将[-1，1] 10 等份，用分段线性插值近似 计算f(-0.96)。 (2)将[-1，1] n 等份，用分段线性插值近似计 算,问如何选择步长h可使近似计算误差R10-4? 解：(1)插值节点为xi=-1+ i/5 (i=0,1,…,10),h=1/5 因为 -0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间， 其上的插值函数为 例：设 ，-1 ≤x ≤1 计算方法 所以?(-0.96)=0.04253 (2)插值节点为xi=-1+ ih (i=0,1,…,n),h=(b-a)/n=2/n 由分段线性插值的余项估计： |f(x)- ?(x) |=|R(x)| ≤ 计算方法 计算方法 分段二次插值：选取跟节点x最近的三个节点xi-1,xi, xi+1进行二次插值，即在区间[xi-1, xi+1]，取： 这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何上就是用分段抛物线代替y=f(x)，故分段二次插值又称分段抛物插值。 计算方法 实际上，上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域显得越来越广泛的应用。 计算方法